1、第 56 题 不等式的恒成立、恰成立、能成立问题I题源探究 黄金母题【例 1】当 取何值时，一元二次不等式 对k2308kx一切实数 都成立？x【解析】由已知结合二次函数的图像可得，解得 所以当20,3408k30k时，一元二次不等式 ，对一切实3k28x数 都成立x 精彩解读【试题来源】人教版 A 版必 5P4 例 3【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题II考场精彩真题回放【例 2】 【2017 高考天津理 8】已知函数设 ，若关于 的不等式3,1().xfaRx在 R 上恒成立，则
2、的取值范围是（ ）()|2xfaA B C D47,164739,1623,39,【答案】【解析】不等式 为 (*)，()2xfa()()2xfaf当 时，(*)式即为 ，1x33，223ax又 （ 时取等号） ，147()6x14x【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题【难点中心】1解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题2 一般不等式恒成立求（ 时取等号） ，22339
3、()416xx34x，4716a当 时，(*)式为 ，x2xax，32又 （当 时取等号） ，32()3xx23x（当 时取等号） ，23a综上 故选 A47216【名师点睛】首先满足 转化为()2xfa去解决，由于涉及分段函数问题要()2xfaf遵循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对x每种情况根据 的范围，利用极端原理 ，求出对应的 的范x a围参数 1可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2也可以画出两边的函数图象，根据临界 值求参数取值范围；3也可转化为 0Fx的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围3对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时
4、能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式III理论基础解题原理（1 ） 对一切 恒成立20axbcaxR20,4.abc（2 ） 对一切 恒成立22,0.aIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选 择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大【技能方法】若不等式 在区间 上恒成立，则等价于在区间上 ；若不等式fxADminfxA在区间 上恒成立，则等价于在 区间 上 如果函数在区间 上fBDaBD不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大
5、于零、等于零和小于零的情况进行讨论V举一反三触类旁通考向 1 不等式的恒成立问题、恰成立、能成立问题【例 1】 【2018 贵州省遵义航天高级中学高一下学期期中考试】若不等式的解集是 R，则 的范围是220mxmA B C D,9,9,19,19,【答案】A详解：由题意得不等式 在 上恒成立2120mxR当 时，不等式为 ，不等式恒成立符合题意10 当 时，由不等式恒成立得 ，解得 21 80m19m综上 ，所以实数 的范围是 ，故选 A19m,9【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当 时，20axbc 0a；当 时， 不等式 的解是全体实数(或恒成立) 的条0,bc 0
6、20axbc 件是当 时， ；当 时， a ,bc 0 【例 2】 【2018 四川宜宾市高一上学期期末考 】当 时，不等式1,a恒成立，则 的取值范围为420xaaxA B C D,13,12,23,1,3【答案】A【解析】 令 ，则不等式 恒成立24faxx240xaa转化为 在 上恒成立，则 ，0fa1,21040 fxx整理得 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围是256 3xx3，故选 A,1,【例 3】 【2018 甘肃天水一中高三上学期第二学段（期中） 】对于任意实数 ，不等式x恒成立，则实数 的取值范围是（ ）240axaA B C D,2,2,2【答案】C【名师点睛】不等式的恒
7、成立，应和函数的图像联系起来二次项系数含字母，应对二次项系数是否为 0，分情 况讨论当二次项系数不为 0 时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在 轴的下方，故抛物线开口 向下且和 轴没交点，即判别式小于 0综合两xx种情况可得所求范围【跟踪练习】1 【 2018 河北省武邑中学高二上学期期末考试 】对任意的实数 ，不等式x恒成立，则实数 的取值范围是（ ）20mxmA B C D4,4,4,04,0【答案】B【解析】当 m=0 时， ，不等式成立；设 ，当 m021x21yx时函数 y 为二次函数，y 要恒小于 0，抛物线开口向下且与 x 轴没有交点，即要 m3 D00，显然恒成立，所以
8、 符合题意；当 时， ，解得0k2 4所以 所以 的取值范围是 04k040,4【名师点睛】求函数的定义域，应使得函数解析式有意义分母中根式的被开放式大于0，转化成不等式恒成立，二次项系数为字母，讨论是否为零，不为零时，结合二次函数图像来解注意三个二次之间的关系6 【 2018 四川成都外国语学校高三 11 月月考】已知 是定义在 R 上的偶函数，且当fxx0 时， ，若 ，有 成立，则实数 的取值范围xfe,1a2fxafxa是_ _【答案】 3,4【名师点睛】一元二次不等式恒成立问题的几个注意点（1 ）一元二次不等式的恒成立问题，可通过二次函数求最值来处理；也可通过分离参数，再求最值（2 ）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数（3 ）对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方
