1、第一课时 用向量方法解决平行问题课时演练促提升A 组1.若直线 l 上有两点 A(1,-3,5),B(-1,-1,4),那么直线 l 的一个方向向量是 ( )A.(1,1,0) B.(4,-4,2)C.(-3,-3,0) D.(4,4,2)解析:由已知=(- 2,2,-1),所有与共线的向量均为 l 的法向量,选项中与共线的只有(4,-4,2),故选 B.答案:B2.若=+ ,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( )A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析: =+, 共面,则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内.答案:D3.若平面 内有不共线的两向量 a=(
2、3,1,-2),b=(2,-2,0),则下列向量中是平面 法向量的是( )A.(2,2,-2) B.(-1,-1,2)C. D.(3,3,-6)解析:设平面 的法向量为 n=(x,y,z),依题意有令 x=1,则 y=1,z=2,于是 n=(1,1,2),而与 n 共线,故为平面 的法向量.答案:C4.若直线 l 的方向向量为 a,平面 的法向量为 u,则可能使 l 的是( )A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析: l, au,即 au=0.故选 D.答
3、案:D5.已知平面 平面 ,n=(1,-1,1)是平面 的一个法向量,则下列向量是平面 的法向量的是( )A.(1,1,1) B.(-1,1,-1)C.(-1,-1,-1) D.(1,1,-1)解析:因为 , 所以两个平面的法向量应共线,只有 B 选项符合.答案:B6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,各棱对应的向量可作为面 A1B1C1D1的法向量的个数为 . 解析:可以作面 A1B1C1D1的法向量的有共 8 个.答案:87.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求平面 ACD1的一个法向量 n.解:如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,1,0),D
4、1(0,0,1).设平面 ACD1的法向量 n=(x,y,z). =(-1,1,0),=(-1,0,1),又 n 为平面 ACD1的一个法向量 ,化简,得令 x=1,得 y=z=1. 平面 ACD1的一个法向量 n=(1,1,1).8.已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM=BD,AN=AE,求证:MN平面 CDE.证明:取 AB,AD,AF 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),则 E(0,3b,3c),M(2a,b,0),N(0
5、,b,c).故= (-2a,0,c).又平面 CDE 的一个法向量是=(0,3b,0),故= (-2a,0,c)(0,3b,0)=0,即.又 MN平面 CDE,故 MN平面 CDE.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F ,G,H,M,N 分别是正方体六个表面的中心 ,证明:平面 EFG平面 HMN.证明:如图,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为 2,则 E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),所以=(0, -1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1).设 m=(x1,y1,z1),
6、n=(x2,y2,z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的一个法向量.由令 x1=1,得 m=(1,-1,-1).由令 x2=1,得 n=(1,-1,-1).于是有 m=n,所以 mn.故平面 EFG平面 HMN.B 组1.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 A1MD 1P; A1MB 1Q; A1M平面 DCC1D1; A1M平面 D1PQB1.来源 :gkstk.Com以上正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:, ,从而 A1MD 1P. 正确.答案:C2.已知=(2,2,
7、1),=(4,5,3),则平面 ABC 的一个单位法向量为( )A. B.C. D.解析:设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则有取 x=1,则 y=-2,z=2.所以 n=(1,-2,2).因为 |n|=3,所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是.答案:B3.已知 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若 AD平面 ABC,则实数 x 的值是 . 解析:易求得平面 ABC 的法向量 u=(0,0,1),而=(1,1,x),故当 AD平面 ABC 时,u =0.故 10+10+x=0,即 x=0.答案:04.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中
8、,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AA1上靠近点 A 的三等分点,在线段 DD1上是否存在一点 G,使 CGEF? 若存在,求出点 G 的位置,若不存在,说明理由.解:存在.如图,建立空间直角坐标系,设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,来源:gkstk.Com则 E,F,C(0,1,0),假设在 DD1上存在一点 G,使 CGEF ,则,由于点 G 在 z 轴上,来源:学优高考网 gkstk设 G(0,0,z),则=(0,-1,z). , =,即(0,-1,z )=. 解得 z=0,1, 点 G 在线段 DD1上,其坐标为.故在线段 DD1上存在一点 G,使 CGEF ,点
9、 G 是 DD1上靠近点 D1的三等分点.5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形,AC= 2,BB1=3,D 是 A1C1的中点.证明:A 1B 平面 B1DC.证明:如图,以 B 为坐标原点,分别以 BA,BC,BB1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 B1(0,0,3),C(0,0),D,A1(,0,3).=(-,0,-3),方法一:因为,所以是共面向量,且不共线.又因为 A1B平面 B1DC,所以 A1B平面 B1DC.方法二:设平面 B1DC 的法向量为 n=(x,y,z),则取 n=.因为n =0,且 A1B平面 B
10、1DC,所以 A1B平面 B1DC.6.在如图所示的多面体中,EF平面 AEB,AEEB,ADEF ,EFBC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点,求证:AB平面 DEG.证明: EF平面 AEB,AE平面 AEB,BE平面 AEB, EFAE,EFBE.又 AE EB,来源:学优高考网 gkstk EB,EF,EA 两两垂直.以点 E 为坐标原点,EB ,EF,EA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2), B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0), =(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).来源 :学优高考网 设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),则令 y=1,得 z=-1,x=-1,则 n=(-1,1,-1), n=-2+0+2=0,即n . AB平面 DEG, AB平面 DEG.
