1、2.3 数学归纳法,第二章 推理与证明,学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.掌握用数学归纳法证明等式、不等式等简单的数学命题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 数学归纳法,在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.,思考1,试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？,答案,答案 (1)第一辆自行车倒下. (2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下导致后一辆一定倒下.,思考2,利用这种思想方法能解决哪类数学问题？,答案,答案 一些与正整数n有关的问题.,(1)数学归纳法 一个与自然数相关的
2、命题，如果当n取 时命题成立；在假设当nk(kN，且kn0)时命题成立的前提下，推出当n 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取 的所有正整数成立.,梳理,第一个值n0,k1,第一个值后面,(2)数学归纳法的框图表示,题型探究,类型一 用数学归纳法证明等式,证明,(2)假设当nk时，等式成立，,即当nk1时，等式也成立. 由(1)(2)可得对于任意的nN等式都成立.,用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将nk1时的式子转化成与归纳假设的结构相同
3、的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式凑结论.,反思与感悟,证明,左边右边，等式成立. 假设当nk(kN，k1)时，等式成立，,当nk1时，,当nk1时，等式也成立. 由可知，对一切nN等式成立.,类型二 用数学归纳法证明不等式,证明,即n1时不等式成立. 假设当nk(k1，kN)时不等式成立，,那么当nk1时，,所以当nk1时，不等式成立.,(1)验证第一个n值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1. (2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,反思与感悟,(
4、3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,证明,证明 (1)当n1时，左边1，右边2.左边右边，不等式成立.,则当nk1时，,(2)假设当nk(k1且kN)时，不等式成立，,当nk1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意nN都成立.,解答,类型三 归纳猜
5、想证明,例3 已知数列an中，a2a2(a为常数)，Sn是an的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项. (1)求a1，a3；,解 由已知2Snnannan(ana). 当n1时，S1a1，所以2a1a1a，即a1a； 当n3时，S3a1a2a3， 所以有2(a1a2a3)3(a3a)， 因为a2a2，a1a，所以a3a4.,解答,(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明.,解 由a1a，a2a2，a3a4， 猜想：ana2(n1). 证明：当n1时，左边右边，等式成立； 当n2时，由a2a2知，等式也成立. 假设当nk(k2)时，等式成立， 即aka2(k1). 那么当nk1时，,所
6、以2ak1(ak1a)(k1)(aka)k. 所以(k1)ak1kaka.,将aka2(k1)代入，得,所以当nk1时，等式也成立. 由知，对任意nN，等式ana2(n1)都成立.,反思与感悟,(1)“归纳猜想证明”的解题步骤,(2)归纳法的作用 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.,解答,跟踪训练3 设a0，f(x) ，令a11，an1f(an)，nN. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；,解 因为a11，an1f(an)，,解答,(2)用数学归纳法证明你的
7、结论.,解 易知当n1时，结论成立； 假设当nk (k1，kN)时，猜想成立，,则当nk1时，,即当nk1时，猜想也成立.,当堂训练,1.若命题A(n)(nN)在nk(kN)时命题成立，则有nk1时命题成立.现知命题对nn0(n0N)时命题成立，则有 A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不正确,解析 由已知得nn0(n0N)时命题成立，则有nn01时命题成立；在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.,答
8、案,2,3,4,5,1,解析,2.用数学归纳法证明“1aa2a2n1 (a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为 A.1a B.1aa2 C.1aa2a3 D.1aa2a3a4,答案,2,3,4,5,1,解析 将n1代入a2n1得a3，故选C.,解析,3.已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN都成立，那么a，b，c的值为,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,4.用数学归纳法证明 在第二步证明从nk到nk1不等式成立时，左边增加的项数为_.,2k,解析 左边增加的项数为2k12k2k.,答案,解析,解答,2,3,4,5,1,5.请观察以下三个式子：,归纳出一般的
9、结论，并用数学归纳法证明该结论.,2,3,4,5,1,解 结论：132435n(n2),证明：当n1时，左边3，右边3， 所以命题成立； 假设当nk(k1，kN)时，命题成立，,则当nk1时，,2,3,4,5,1,1324k(k2)(k1)(k3),2,3,4,5,1,所以当nk1时，命题成立. 由知，命题成立.,规律与方法,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.,本课结束,
