1、1.4.2 微积分基本定理(二),第一章 1.4 定积分与微积分基本定理,学习目标 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.曲边梯形的面积 (1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S . (2)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积S .,2.两函数图象围成图形的面积 当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa， xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的 平面图形的面积S f(x)g(x)dx.(如图),题
2、型探究,例1 试求曲线yx22x3与yx3所围成的图形的面积.,解答,类型一 利用定积分求面积,命题角度1 求不分割型图形的面积,解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积.,求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形. (2)找出范围，确定积分上、下限. (3)确定被积函数. (4)将面积用定积分表示. (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.,反思与感悟,跟踪训练1 求由抛物线yx24与直线yx2所围成的图形的面积.,解答,所以直线yx2与抛物线yx24的交点坐标为(3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，根据图形，,解答,命题角度2 分割型图形面积的求解,解 画出图形
3、，如图所示.,得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，,(2)由抛物线y28x (y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积 为_.,答案,解析,解析 由题意，如图所示，,所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4).,方法一 (选y为积分变量),方法二 (选x为积分变量),两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.,反思与感悟,答案,解析,类型二 定积分的综合应用,例3 在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积
4、为 ，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程.,解答,解 如图，设切点A(x0，y0)， 其中x00， 由y2x，得过点A的切线方程为 yy02x0(xx0)，,设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S， 则SS曲边AOBSABC，,从而切点为A(1,1)， 切线方程为2xy10.,本类题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决.,反思与感悟,跟踪训练3 如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两
5、部分，求k的值.,解答,解 抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21， 所以，抛物线与x轴所围图形的面积,可得抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，,当堂训练,1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有, ,2,3,4,5,1, ,A. B. C. D.,答案,解析,和正确，故选D.,2,3,4,5,1,2.曲线ycos x(0x )与坐标轴所围成图形的面积是,答案,解析,解析,2,3,4,5,1,3.曲线yex，yex及x1所围成的图形的面积为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,解答,2,3,4,5,1,5.求由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积.,解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积. 由x210，得抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)，,2,3,4,5,1,规律与方法,对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.,本课结束,
