1、1.2.2 导数公式表及数学软件的应用,1.2.1 常数函数与幂函数的导数,学习目标 1.能根据定义求函数yC，yx，yx2，yx3，y ，y 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 几个常用函数的导数,(1)若yf(x)C，则f(x) . (2)若yf(x)x，则f(x) . (3)若yf(x)x2，则f(x) . (4)若yf(x)x3，则f(x) .,0,1,2x,3x2,x2,知识点二 基本初等函数的导数公式表,nxn1,x1,axln a,cos x,sin x,0,特别提醒：(1)记忆公式时要采
2、用对比的方法来记忆 将xu与ax对比记忆，两公式最易混淆； 将ax与logax对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记； 将sin x与cos x对比记忆，注意正、负号问题. (2)函数f(x)logax的导数公式为f(x)(logax) ，当ae时，上述公式就变为(ln x) ，即f(x)ln x是f(x)logax当ae时的特殊情况.类似地，还有f(x)ax，当ae时，(ex)ex.,题型探究,例1 求下列函数的导数.,解答,类型一 利用导数公式求函数的导数,解 y0.,解答,(4)ylg x；,(5)y5x；,解答,解 y5xln 5.,y(sin x)cos x.,若给出函数解析式不
3、符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.,反思与感悟,解 y(x12)12x11.,跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)yx12；,解答,解答,(3)ylog2x；,例2 (1)已知P，Q为抛物线y x2上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为 .,类型二 导数公式的综合应用,答案,解析,命题角度1 利用导数公式解决切线问题,(1，4),解析 由抛物线方程，得yx， kPAy|x44，kQAy|x22. P(4,8)，Q(2,2)， PA的直线方程为y84(x4)， 即y4x8. QA的直线方
4、程为y22(x2)，即y2x2.,A(1，4).,(2)已知两条曲线y1sin x，y2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.,解答,解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1 cos x0，k2 sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2cos x0(sin x0)1， 即sin 2x02，这是不可能的. 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.,解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线
5、上这三个条件联立方程解决.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数ykx是曲线y1ln x的一条切线，则k .,解析 设切点坐标为(x0，y0)，,又y0kx0， 而且y0ln x0， ,答案,解析,例3 求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.,解答,命题角度2 利用导数公式求最值问题,依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线 xy20的距离最短.,利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.,反思
6、与感悟,跟踪训练3 已知A、B、C三点在曲线y 上，其横坐标依次为1、 m、4(1m4)，当ABC的面积最大时，m的值为 .,答案,解析,解析 如图，在ABC中，边AC是确定的，要使ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，ABC的面积最大.,又A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,A.1 B.2 C.3 D.4,解析 中(3x)3xln 3，均正确.,2.函数f(x)x3的斜率等于1的切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定,答案
7、,2,3,4,5,1,解析,故斜率等于1的切线有2条.,3.设函数f(x)logax，f(1)1，则a .,2,3,4,5,1,解析,答案,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,5.求下列函数的导数. (1)y( 1)( 1)1；,解 yx3，y3x2.,ycos x.,解答,2,3,4,5,1,解答,规律与方法,1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导.,所以y(cos x)sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.,本课结束,
