1、第二章 2.4 抛物线,2.4.1 抛物线的标准方程,1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 抛物线的定义,平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？,答案,连接两定点所得线段的垂直平分线.,思考2,平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？,答案,一条直线.,思考3,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？,答案,抛物线.,梳理,(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl
2、 )距离 的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 . (2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11).,相等,焦点,准线,思考,知识点二 抛物线的标准方程,抛物线的标准方程有何特点？,答案,(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离； (4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称； (5)焦点、准线到原点的距离都等于 .,梳理,由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛
3、物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)， x22py(p0). 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：,题型探究,例1 (1)动点M的坐标满足方程5 |3x4y12|，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对,类型一 抛物线的定义及理解,设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x4y120的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120为准线的抛物线.,答案,解析,设动点Q(x，y)，则有xxy, yxy，又有x2y21，即(xy)22xy1，所以x22
4、y1，故Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.,(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答),答案,解析,抛物线,抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离. (2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.,反思与感悟,解答,跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.,方法一 设点P的坐标为(x，y)，,两边平方并化简得y22x2|x|.,方法二 由题意，动点P到定点
5、F(1,0)的距离比到y轴的距离大1， 由于点F(1,0)到y轴的距离为1， 故当x0时，直线y0上的点适合条件； 当x0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x1为准线的抛物线， 方程为y24x.,因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y x，所以所求距离为 .,类型二 抛物线标准方程及求解,命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 抛物线y24x的焦点到双曲线x2 1的渐近线的距离是,答案,解析,反思与感悟,根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右
6、端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.,跟踪训练2 (1)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_.,因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，,2,x1,答案,解析,(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. y240x；,解答,焦点坐标为(10,0)，准线方程为x10.,4x2y；,解答,3y25x；,解答,6y211x0.,解答,命题角度2 求解抛物线的标准方程 例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；,解答,(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.,解答,设所求焦点在x轴上的抛物
7、线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，,又(3)22pm，p1或p9， 故所求抛物线方程为y22x或y218x.,反思与感悟,抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p的值.,跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.,解答,设抛物线方程为y22px
8、(p0)，,抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.,类型三 抛物线在实际生活中的应用,例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,解答,如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.,设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知， 点B(4，5)在抛物线上，故p ，得x2 y.当船面两侧和抛物线 接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22 yA，得yA .又知船面露出水面上的部分
9、高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,反思与感悟,跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？,解答,如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2 2py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，,所以管柱OA
10、的长为1.8 m.,当堂训练,由y x2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y 1.,1.抛物线y x2的准线方程是 A.y1 B.y2 C.x1 D.x2,答案,解析,1,2,3,4,5,2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为 A.4 B.2 C.4或4 D.12或2,答案,解析,由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距离为4，故 24， p4，x28y.将点P的坐标代入x28y， 得m4.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.若抛物线 y22px(p0)上的
11、动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.,答案,解析,2,因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 1，p2.,1,2,3,4,5,4.若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.,答案,解析,因为抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点F1(，0)，,5.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则|MN|MF|的最小值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,|MN|MF| ，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为 .,1,2,3,4,5,|MN|M
12、F|NF|，而易得F(1,0)，,规律与方法,1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F( ，0)，准线方程为x ；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0， )，准线方程为y . 2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 . 3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.,本课结束,
