1、3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数,1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 函数的平均变化率,假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).,思考1,若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是
2、多少？,答案,自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值y的改变量为y2y1，记作y.,思考2,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？,答案,思考3,答案,梳理 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,函数值,自变量,斜率,知识点二 瞬时变化率,思考1,物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.,答案,思考2,当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？,当t趋近于0时， s t 趋近于10，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度.,答案,梳理 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当 时，当t趋近 于0时，函
3、数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率为 趋近于 常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度.,t0到t0t,(2)函数的瞬时变化率 设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化 率 趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬 时变化率.,知识点三 函数在某一点处的导数与导函数,思考,f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？,f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值.f(x)是f(x)的导函数，它是一个函数.f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值.,答案,梳理 (1)函数f(x)在
4、xx0处的导数 函数yf(x)在xx0处的 称为函数yf(x)在xx0处的导数， 记作 ，即f(x0) .,瞬时变化率,f(x0)或y|,(2)导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数.记为f(x)(或yx、y). (3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)| .,确定的导数f(x),题型探究,类型一 函数的平均变化率,解答,因为f(x)
5、2x23x5， 所以yf(x1x)f(x1),2(x)22x1x3x 2(x)2(4x13)x.,当x14，x25时，x1，,当x14，x24.1时，x0.1， y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.,(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为 1 3 ，哪一点附近的平均变化率最大？,解答,由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.,求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)； (2)再计算自变量的改变量xx2x1；,反思与感悟,答案,解析,x,(2)如图所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变
6、化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_.,答案,解析,类型二 求瞬时速度,例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.,解答,物体在t1处的瞬时变化率为3， 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,引申探究 1.若本例的条件不变，试求物体的初速度.,解答,物体在t0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.,2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，,解答,则2t019，t04. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,反思与
7、感悟,(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).,解答,跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率,类型三 求函数在某一点处的导数,例3 求函数f(x) x 在x1处的导数.,解答,反思与感悟,求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；,解答,跟踪训练3 已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,解析,3.当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为_.,1,2,3,4,5,16,4.函数yf(x)2x24x在x3处的导数为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x) a x 在x1处的导数为2，则实数a的值是_.,2,由题意知，a2，a2.,答案,解析,规律与方法,本课结束,
