1、14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式1.绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|a的解集：,（2）|axb|c（c0）和|axb|c（c0）型不等式的解法： |axb|c_； |axb|c_； （3）|xa|xb|c（c0）和|xa|xb|c （c0）型不等式的解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,caxbc,axbc或axbc,2.含有绝对值的不等式的性质 （1）如果a，b是实数，则_|ab|_，当且仅当_时，等号成立. （2）如果a，b，c是
2、实数，那么_，当且仅当_时，等号成立.,|a|b|,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,（ab）（bc）0,1.若函数f（x）|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为（ ） A.5或8 B.1或5 C.1或4 D.4或8,2.不等式|x1|x5|2的解集为 .,【解析】 当x1时，原不等式可化为1x（5x）2， 42，不等式恒成立，x1. 当1x5时，原不等式可化为x1（5x）2， x4，1x4， 当x5时，原不等式可化为x1（x5）2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为（，4）. 【答案】 （，4）,3.若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k. 【解析】 |kx4|
3、2，2kx42，2kx6. 不等式的解集为x|1x3，k2. 【答案】 2,题型一 绝对值不等式的解法 【例1】 已知函数f（x）|x1|2|xa|，a0. （1）当a1时，求不等式f（x）1的解集； （2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.,【思维升华】 解绝对值不等式的基本方法 （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式. （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式. （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,【解析】 （1）当x2时，不等式等价于（x1）（x2）5，解得x3； 当2x1时
4、，不等式等价于（x1）（x2）5，即35，无解； 当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2. 综上，不等式的解集为x|x3或x2.,题型二 利用绝对值不等式求最值 【例2】 （1）对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值. （2）对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.,【解析】 （1）x，yR， |x1|x|（x1）x|1， |y1|y1|（y1）（y1）|2， |x1|x|y1|y1|123. |x1|x|y1|y1|的最小值为3. （2）|x2y1|（x1）2（y1）|x1|2（y2）2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.,【思维升华】
5、求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；（3）利用零点分区间法.,题型三 绝对值不等式的综合应用 【例3】 （2018石家庄调研）设函数f（x）|x3|x1|，xR. （1）解不等式f（x）1； （2）设函数g（x）|xa|4，且g（x）f（x）在x2，2上恒成立，求实数a的取值范围.,故当x2，2时，若0a4时，则函数g（x）在函数f（x）的图象的下方，g（x）f（x）在x2，2上恒成立， 求得4a0，故所求的实数a的取值范围为4，0.,【思维升华】 （1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,跟踪训练3 （2017全国卷）已知函数f（x）x2ax4，g（x）|x1|x1|. （1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.,（2）当x1，1时，g（x）2， 所以f（x）g（x）的解集包含1，1等价于当x1，1时，f（x）2. 又f（x）在1，1的最小值必为f（1）与f（1）之一， 所以f（1）2且f（1）2，得1a1. 所以a的取值范围为1，1.,
