1、点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1垂直于同一条直线的两条直线一定( )A平行 B相交 C异面 D以上都有可能2正四棱柱 1DCA中， AB21，则异面直线 1AB与 所成角的余弦值为( )A 51B 52C 53D 543经过平面外两点与这个平面平行的平面( )A可能没有 B至少有一个 C只有一个 D有无数个 4点 E，F ，G ，H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB，BC，CD ，AD 的中点，若 ACBD，且 AC 与 BD 所成角的大小为 90，则四边形 EFGH 是（ ） A菱形 B梯形 C正方形 D空间四边形 5已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n 平面 ， l，则(
2、)Al 与 m，n 都相交 Bl 与 m，n 中至少一条相交Cl 与 m，n 都不相交 Dl 只与 m，n 中一条相交6在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAD 2 3，CC 1 2，则二面角 C1-BD-C 的大小为( )A30 B45 C60 D907如果平面 外有两点 A，B，它们到平面 的距离都是 a，则直线 AB 和平面 的位置关系一定是( )A平行 B相交 C平行或相交 DAB 8设 m，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面下列命题中正确的是( )A ，m ，n mn B ， m ，n mnC m，n ，mn D， m，nm n9平面 平面 ，AB ，CD 是夹在
3、和 之间的两条线段，E ，F 分别为 AB，CD 的中点，则 EF 与 的关系是( )A平行 B相交 C垂直 D不能确定 10平面 平面 ，A ， B，AB 与两平面 ， 所成的角分别为 4和 6，过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A，B，则ABAB 等于( ) A2 1 B31C 32 D43二、填空题11下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线 AB，CD 所成角的大小为 12正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2，E，F 分别是 AB，A 1C1 的中点，则 EF 的长是 13如图，AC 是平面 的斜线，且 AOa，AO 与 成 60 角，OC，AA 于A， A
4、OC45，则点 A 到直线 OC 的距离是 DCAB(第 11 题)(第 10 题)14已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 5，则侧面与底面所成二面角的大小为 15已知 a，b 为直线，为平面， a，b ，对于 a，b 的位置关系有下面五个结论：平行；垂直不相交； 垂直相交；相交；不垂直且不相交 其中可能成立的有 个三、解答题16正方体 AC1 的棱长为 a(1)求证：BD 平面 ACC1A1；(2)设 P 为 D1D 中点，求点 P 到平面 ACC1A1 的距离17如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P是平面 ABCD 外一点，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点 求证
5、：(1)PA 平面 BDE ；(2)BD平面 PAC18如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD， PDDC BC1，AB2 ，ABDC，BCD90 (1)求证：PC BC；(第 18 题)(2)求点 A 到平面 PBC 的距离19如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，(1)求证：AC平面 B1D1DB；(2)求证：BD 1平面 ACB1；(3)求三棱锥 B-ACB1 体积20. 已知BCD 中， BCD90，BCCD1 ，AB平面 BCD，ADB 60，E，F 分别是AC， AD 上的动点，且 ACE DF(01)(1)求证：不论 为何值，总有平面 BEF平面
6、 ABC；(2)当 为何值时，平面 BEF平面 ACD？D1 C1B1A1CDBA(第 19 题)(第 20 题)参考答案一、选择题1 D解析：当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与 l 不共面时，两条直线平行或相交或异面2 D解析：当将 AD1 平移至 BC1，连接 A1C1，A 1BC1 是异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.在A 1BC1 中，容易计算 A1BBC 1 5，A 1C1 2由余弦定理得 cosA 1BC1 43 A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在4 C解析：依条件得 EF 21AC，GH 21
7、AC， EF GH又 EH 21BD，FG BD， EH FGAB BC，EFEH AC 与 BD 所成角的大小为 90， EF 与 EH 所成角的大小为 90四边形 EFGH 是正方形5 B解析：对于 A，满足条件的直线 l 可以与 m，n 中一条相交；对于 C，若 l 与 m，n 都不相交， l 分别与 m，n 共面， lm，ln m n矛盾；对于 D，满足条件的直线可以与 m，n 都相交6 A解析：若设 AC，BD 交于点 O，连接 C1O，则 BDCO，BDC 1O COC 1 是二面角 C1-BD-C 的平面角tanCOC 1 B 3 COC 1307 C解析：当 A，B 两点在 同
8、侧时，直线 AB 和平面 平行；当 A，B 两点在 异侧时，直线 AB 和平面 相交8 B解析：对于 A，m，n，m，n 可以不垂直； 对于 C，m，n，mn， ，可以不垂直；对于 D，m，nm， n，可以不垂直9 A解析：设 A，C ，B ，D， 若 AB，CD 共面， ， ACBD. E，F 分别为 AB，CD 的中点， EFAC，且 EF，AC ， EF若 AB，CD 为异面直线，则过点 F 做直线 MNAB，MN 交 于 M，交 于 N，则MCND F 为的 MN 中点 EF AM，且 EF，AM ， EF10 A解析：连接 AB，A B，于是ABA 6，BAB 4.设 AB a， A
9、Bacos 32a，BB acos 2a AB 12a ABAB2 1二、填空题11 60解析：将展开图恢复为正方体时，点 B，D 重合， AB，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形， 直线 AB，CD 所成角的大小为 6012 5如图，取 A1B1 的中点 G，连接 FG，EG，FG 1，EG 2， EF 513 4aABC OA(第 13 题)(第 10 题)ABCA1B1C1EF G(第 12 题)解析：如图过点 A 作 ABOC，垂足为 B，连接 AB，点 A 到直线 OC 距离是 AB依条件得 AA 23a，AO 21a，AB 42a AB 164a 4a14 60解析：依条件可
10、知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1，侧面等腰三角形底边上的高为2， 侧面与底面所成的二面角的余弦值是 21 侧面与底面所成的二面角的大小是 6015 5解析：依条件可知当 a， b 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立三、解答题16 证明：(1) AA1AB ，AA 1AD，且ABADA， AA1 平面 ABCD又 BD平面 ABCD， AA1 BD又 ACBD ，AA 1ACA， BD平面 ACC1A1(2) DD1AA 1，AA 1 平面 ACC1A1， DD1平面 ACC1A1 点 P 到平面 ACC1A1 的距离即为直线 DD1 到面 ACC1A1 的距离. 也就是
11、点 D 到平面ACC1A1 的距离，设 AC BD O，则 DO 的长度是点 D 到平面 ACC1A1 的距离容易求出 DO 2a P 到平面 ACC1A1 的距离为 2a17证明：(1)连接 EO， 四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 的中点 E 是 PC 的中点， OE 是APC 的中位线 EOPA EO 平面 BDE，PA 平面 BDE， PA平面 BDE A BCA1 B1C1PDD1O(第 16 题)POECDBA(第 17 题)(2) PO平面 ABCD，BD 平面 ABCD， POBD 四边形 ABCD 是正方形， ACBD POACO ，AC 平面 PAC，PO 平面
12、PAC， BD平面 PAC18 (1)证明： PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD， PDBC由BCD 90，得 CDBC又 PDDCD ，PD， DC 平面 PCD， BC平面 PCD PC 平面 PCD，故 PCBC(2)解：(方法一)分别取 AB， PC 的中点 E，F，连DE，DF ， 则易证 DECB ，DE 平面 PBC，点 D，E 到平面PBC 的距离相等又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍，由(1)知，BC 平面 PCD，平面 PBC平面 PCD PD DC，PF FC， DF PC又 平面 PBC平面 PCDPC， DF平面 PBC
13、 于 F易知 DF 2，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2(方法二)：连接 AC，设点 A 到平面 PBC 的距离为h ABDC， BCD90， ABC 90由 AB 2，BC1，得ABC 的面积 SABC 1 由 PD 平面 ABCD，及 PD1 ，得三棱锥 P-ABC 的体积V 31SABC PD 3(第 18 题)(第 18 题) PD平面 ABCD，DC 平面 ABCD， PDDC又 PD DC 1， PC 2DCP 由 PCBC，BC1，得PBC 的面积 SPBC VA - PBCV P - ABC， 3SPBC hV 31，得 h 2故点 A 到平面 PBC 的距离等于 21
14、9 (1)证明： ACBD，又 BB1平面 ABCD，且 AC 平面 ABCD， BB1AC . BDBB1B， AC平面 B1 D1DB(2)证明：由(1)知 AC平面 B1D1DB， BD1平面 B1D1DB， ACBD 1 A1D1平面 A1B1BA，AB 1平面 A1B1BA， A1D1AB 1又 A1BAB 1 且 A1BA1D1 于 A1， AB1平面 A1D1B BD1平面 A1D1B， BD1 AB1，又 ACAB1A， BD1 平面 ACB1(3)解：(方法 1) CBABV11 31( 211) 6(方法 2) 1ACV 2( 3V 正方体 ) 620 (1)证明： AB平面 BCD， ABCD CDBC，且 ABBC B， CD平面 ABC又 ACE DF(01)， 不论 为何值，恒有 EF CD， EF平面 ABC EF 平面 BEF， 不论 为何值总有平面 BEF平面ABC (2)解：由(1 )知，BE EF，又平面 BEF平面 ACD， BE平面 ACD(第 20 题) BE AC BC CD1 ， BCD 90，ADB 60， BD 2， AB 6，AC 7由ABC AEB，有 AB2AEAC，从而 AE 76 ACE 故当 76时，平面 BEF平面 ACD
