1、1第二十七章 相似27.1 图形的相似知能演练提升能力提升1.已知 ABC 与 ABC相似,且 ABC 与 ABC的相似比为 R1, ABC与 ABC 的相似比为 R2,则 R1与 R2的关系是( )A.R1=R2 B.R1R2=-1C.R1+R2=0 D.R1R2=12.把 ab=cd 写成比例式,写错的是( )A. B.ac=db da=bcC. D.cb=ad ab=cd3.如图,内外两个矩形相似,且对应边平行,则下列结论正确的是( )A. =1xyB.xy=abC.xy=baD.以上答案都不对4.如图,Rt ABC 与 Rt ADE 相似,且 B=60,CD=2,DE=1,则 BC 的
2、长为( )A.2 B. C.2 D.4433 3 35.2如图,在已建立直角坐标系的 44 正方形方格纸中, ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点 P,A,B 为顶点的三角形与 ABC 相似(全等除外),则格点 P 的坐标是 . 6.如图是两个相似的四边形,根据已知数据,求 x,y,.7.如图, OAOD=OBOC= 1 2,OB=3.(1)求 BC 的长;(2)若 ABCD= 1 2,AB CD,试问 AOB 与 DOC 相似吗?为什么?8.有 16 K 和 32 K 两种纸,把它们纵向放置时,它们的宽度和高度的比可近似地看作相同,其中 32 K 纸的宽度为
3、130 mm,高度为 184 mm;16 K 纸的宽度为 184 mm,求 16 K 纸的高度约为多少毫米?(精确到 1 mm)3创新应用9 .如图,把矩形 ABCD 对折,折痕为 MN,矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似,已知 AB=4.(1)求 AD 的长;(2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比 .参考答案能力提升1.D 2.D 3.C4.B 相似三角形的对应角相等, ADE=60.AD= 2DE=2,AC= 4.在 Rt ADE 中, AE= .AD2-DE2= 22-12= 3又 ,即 ,BCDE=ACAE BC1= 43BC= .43=4335.(1,4)或(3,4)
4、6.解 因为四边形的内角和等于 360,所以 C=360-30-120-130=80,所以 = 80.因为 AB 和 GH 是对应边,所以两个相似四边形的相似比是 5 8,BC 的对应边为 HE.所以 ,即 ,解BCHE=58 4x=58得 x=6.4.因为 AD 和 GF 是对应边,所以 ,解得 y=9.6.6y=587.解 (1) OBOC= 1 2,OB=3,OC= 6.BC=OB+OC= 9.(2)相似 .AB CD, A= D, B= C.4OAOD=OBOC=ABCD= 1 2,且 AOB= COD, AOB 与 DOC 相似 .8.解 设 16 K 纸的高度为 x mm,则有 1
5、84x= 130 184,解得 x260,即 16 K 纸的高度约为 260 mm.创新应用9.解 (1)由已知,得 MN=AB=4,MD= AD.12 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似, , AD2=16,AD=4 .DMAB=MNAD 12 2(2)由(1)知, DM= AD=2 ,则矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为 .12 2 DMAB=224 = 22第二十七章 相似27.1 图形的相似1.形状相同的图形叫做 . 2.下列图形一定相似的是 ( )A.两个圆 B.两个矩形C.两个等腰梯形 D.两个菱形3.对于四条线段 a,b,c,d,如果其中两条线段的比 (即它们长度的
6、比 )与另两条线段的比相等 ,如 (即 ad=bc),我们就说这四条线段 . 4.两个边数相同的多边形 ,如果它们的角分别 ,边 ,那么这两个多边形叫做相似多边形 .相似多边形对应边的比叫做. 5.相似多边形的对应角 ,对应边 . 相似图形 A 成比例 相等 成比例 相似比 相等 成比例 6.如图 ,四边形 EFGH和四边形 ABCD相似 ,则 A= , C= ,x= ,y= ,z= . 70 120 20 15 22.5 1.相似多边形的特征【例 1】 小明家有一个矩形相框 ,其边长分别为 10 cm,20 cm,小明还想做一个与该相框形状完全相同的相框 ,但手中只有一根作为一边的 30 c
7、m长的框料 ,那么小明还要准备多长的框料 ?分析 因为这两个矩形的形状完全相同 ,所以它们相似 ,对应边成比例 .设相框另一边长为 x cm,则有 两种情况 ,先分别求出 x,再计算出需准备的框料 .解 :因为这两个矩形的形状完全相同 ,所以它们相似 ,对应边成比例 .设相框另一边长为 x cm,所以还要准备的框料为 30+602=150(cm).综上所述 ,小明还要准备 60 cm或 150 cm的框料 .2.比例的定义【例 2】 下列数据能成比例的是 ( )A.3 cm,6 cm,8 cm,9 cmB.3 cm,5 cm,6 cm,9 cmC.3 cm,6 cm,7 cm,9 cmD.3
8、cm,6 cm,9 cm,18 cm答案 :D1 2 3 4 51.有下列各组线段 :(1)a=12 dm,b=8 dm,c=1.5 m,d=10 m;(2)a=300 dm,b=20 dm,c=0.8 dm,d=12 mm;(3)a=7 m,b=4 m,c=3 m,d=5 m;其中成比例的线段有 ( )A.1组 B.2组 C.3组 D.4组答案解析解析关闭统一单位后 ,按从小到大或从大到小的顺序排列 ,进行验证 .(1)acbd;(2)adcb;(3)acbd;(4)ad=bc.答案解析关闭A1 2 3 4 52.在下面给出的五组图形中 ,相似的有 .(填序号 ) 答案答案关闭1 2 3 4
9、 53.有四条成比例的线段 ,若其中两条长度分别为 2 cm,32 cm,另两条线段的长度相等 ,则它们的总长应该等于 . 答案解析解析关闭设相等线段的长度为 x cm,则有 2 x=x 32,故 x=8.总长=2+32+82=50(cm).答案解析关闭50 cm1 2 3 4 54.把一张矩形纸片对折 ,若对折后的矩形与原矩形相似 ,则原矩形纸片的长与宽之比为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭1 2 3 4 55.如图 ,已知菱形 ABCD和菱形 ABCD, A= A=110 ,那么这两个菱形是相似的菱形吗 ?为什么 ?答案答案关闭相似 . A= A, B= B, C= C, D= D. A
10、B=BC=CD=AD,AB=BC=CD=AD, AB AB=BC BC=CD CD=AD AD. 菱形 ABCD和菱形 ABCD相似 .127.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第 1 课时 相似三角形的判定(1)知能演练提升能力提升1.如图, DE FG BC,则图中共有相似三角形( )A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对2 .如图,已知 AD 为 ABC 的角平分线, DE AB 交 AC 于点 E.如果 ,那么 等于( )AEEC=23 ABACA. B. C. D.13 23 25 35(第 1 题图)(第 2 题图)3.如图, AB GH CD,点 H 在 BC
11、上, AC 与 BD 交于点 G,AB=2,BGDG= 2 3,则 GH 的长为 . 4.在 ABC 中, AB=6,AC=9,点 D 在边 AB 所在的直线上,且 AD=2,过点 D 作 DE BC,交边 AC 所在直线于点 E,则 CE 的长为 . 5.如图所示,已知 ED GH BC.(1)若 EC=5,HC=2,DG=4,求 BG 的值;(2)若 AE=4,AC=6,AD=5,求 BD 的值 .26.如图,已知 EC AB, EDA= ABF.求证:(1)四边形 ABCD 为平行四边形;(2)OA2=OEOF.37.如图,在 44 的正方形方格中, ABC 的顶点 A,B,C 在单位正
12、方形的顶点上 .请在图中画一个A1B1C1,使 A1B1C1 ABC(相似比不为 1),且点 A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上 .创新应用8 .如图,在水平桌面上的两个“E”,当点 P1,P2,O 在一条直线上时,在点 O 处用 号“E”测得的视力与用 号“E”测得的视力相同 .(1)图中 b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式?(2)若 b1=3.2 cm,b2=2 cm, 号“E”的测试距离 l1=8 m,要使测得的视力相同,则 号“E”的测试距离 l2应为多少?参考答案能力提升1.C ADE AFG, ADE ABC, AFG ABC,应选 C.2.B AD 为 ABC 的角平分线
13、, BAD= DAE.4又 AB DE, BAD= ADE, DAE= ADE,AE=ED.又 ,设 AE=2a,EC=3a,ED= 2a,AC=5a.AEEC=23 DCE BCA, ,即 .CEAC=EDAB 3a5a=2aABAB= . .10a3 ABAC=10a35a=233. AB GH CD,AGGC=BGDG= 2 3,65GCAC= 3 5.AB GH, GHC ABC,GCAC=GHAB ,即 3 5=GH 2,解得 GH= .654.6 或 125.解 (1) EH=EC-HC=3.ED GH BC,EHHC=DGBG ,即 3 2=4GB ,解得 BG= .83(2)E
14、D BC,BAAD=CAAE ,即 BA 5=6 4,解得 BA= .152BD= +5= .152 2526.证明 (1) EC AB, C= ABF.又 EDA= ABF, C= EDA.AD BC,5 四边形 ABCD 是平行四边形 .(2)EC AB, .OAOE=OBOD又 AD BC, ,OFOA=OBOD ,OAOE=OFOAOA 2=OEOF.7.解 在 ABC 中, AB= ,BC=2,AC= .2 10设相似比为 .22或 2可得所求三角形的边长分别为 1, 或 2,2 ,2 .2, 5 2 5所以可以构造出不同的符合条件的三角形 .如图所示的 A1B1C1或 A1B1C1
15、.创新应用8.解 (1) P 1D1 P2D2, P1D1O P2D2O. ,即 .P1D1P2D2=D1OD2O b1b2=l1l2(2) ,且 b1=3.2 cm,b2=2 cm,l1=8 m, ,b1b2=l1l2 3.22=8l2l 2=5 m.故 号“E”的测试距离 l2应为 5 m.27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第 1课时 相似三角形的判定 (1)1.在相似多边形中 ,最简单的就是 . 2.在 ABC和 ABC中 ,如果 A= A, B= B, C= C, ,即三个角分别 ,三条边 ,那么我们就说 ABC与 ABC ,相似比为 k.相似用符号 “ ”表示 ,读作
16、 “ ”.ABC与 ABC的相似比为 ;如果k=1,那么 . 3.两条直线被一组平行线所截 ,所得的对应线段 . 相似三角形 相等 成比例 相似 相似于 ABCABC 成比例 4.如图 ,已知 l1 l2 l3,AB=3,DE=2,EF=4,则 BC= . 5.平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 ),所得的对应线段 . 6 成比例 6.如图 ,在 ABC中 ,点 D,E分别在 AB,AC边上 ,DE BC.若ADAB=34,AE=6,则 AC等于 ( )A.3 B.4 C.6 D.87.平行于三角形一边的直线和其他两边相交 ,所构成的三角形与原三角形 . 8.三边成比例的两个三
17、角形 . 9.有一个三角形的三边边长分别为 a=3,b=4,c=5,另一个三角形的三边边长分别为 a=8,b=6,c=10,则这两个三角形 ( )A.都是直角三角形 ,但不相似B.都是直角三角形 ,且相似C.都是钝角三角形 ,且相似D.都是锐角三角形 ,且相似D 相似 相似 B 1.平行线分线段成比例的基本事实的运用分析 先根据平行线分线段成比例的基本事实 ,得到线段AB,BC,DE,EF的比例式 ,再根据比例的性质对比例式变形就得到要求的结果 .证明 : l1 l2 l3,点拨 平行线分线段成比例的基本事实得到的是线段间的基本关系 ,对这些基本关系进行转化 ,就能够得到所要求解的关系 .2.
18、判定三角形相似【例 2】 如图 ,在 ABCD中 ,EF AB,DEEA=23,EF=4,则 CD的长为 ( )答案 :C 1 2 3 41.如图 ,在 ABC中 ,DE BC,MN AB,则图中与 ABC相似的三角形有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案答案关闭C1 2 3 4答案解析解析关闭答案解析关闭1 2 3 43.已知 ABC DEF,ABDE=12,则 ABC与 DEF的相似比是 ;DEF与 ABC的相似比是 . 答案答案关闭1 2 2 11 2 3 44.如图 ,把 OAB沿 x轴向右平移得到 CDE,CD交 AB于点 F,则 OABCFB. 答案解析解析关闭由平移
19、得到 CF OA,故 OAB CFB.答案解析关闭1第 2课时 相似三角形的判定(2)知能演练提升能力提升1.如图,在正三角形 ABC中,点 D,E分别在 AC,AB上,且 ,AE=BE,则有( )ADAC=13A. AED BED B. AED CBDC. AED ABD D. BAD BCD2.如图,四边形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,且将这个四边形分成 , , , 四个三角形 .若OAOC=OBOD ,则下列结论中一定正确的是( )A. 与 相似 B. 与 相似C. 与 相似 D. 与 相似3.如图,用两根等长的钢条 AC和 BD交叉构成一个卡钳,可以用来测量工具内槽的宽度
20、 .设 =m,OAOC=OBOD且量得 CD=b,则内槽的宽 AB等于( )A.mb B. C. D.mb bm bm+14.如图,1 =2,添加一个条件使得 ADE ACB,这个条件是 . 5.2如图,网格中的每个小正方形的边长都是 1,每个小正方形的顶点叫做格点 . ACB和 DCE的顶点都在格点上, ED的延长线交 AB于点 F.求证:(1) ACB DCE;(2)EF AB.6.如图,已知 E是四边形 ABCD的对角线 BD上的一点,且 ,1 =2 .求证: ABC= AED.ABAE=ACAD37.如图,在 ABC与 ABC中, BE,BE分别是 ABC, ABC的中线,且 .BCB
21、C= BEBE= ACAC求证: ABC ABC.8.如图,在 ABC中, AB=8 cm,BC=16 cm,点 P从点 A出发沿 AB边向点 B以 2 cm/s的速度移动,点 Q从点 B出发沿 BC边向点 C以 4 cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动),如果点 P,Q同时出发,经过几秒后 BPQ与 ABC相似?4创新应用9 .已知在梯形 ABCD中, AD BC,AB=AD(如图所示), BAD的平分线 AE交 BC于点 E,连接 DE.(1)在图中,用尺规作 BAD的平分线 AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形 ABED是菱形;(2)若 ABC=60,EC=2BE,求证:
22、ED DC.参考答案能力提升51.B 设 AD=k,则 AC=BC=3k,AE=1.5k,CD=2k,所以 .所以 .又ADAE= k1.5k=23,CDCB=2k3k=23 ADAE=CDCB A= C=60,所以 AED CBD.2.B 3.A 4.ADAC=AEAB5.证明 (1) , .ACDC=32,BCCE=64=32 ACDC=BCCE又 ACB= DCE=90, ACB DCE.(2) ACB DCE, ABC= DEC.又 ABC+ A=90, DEC+ A=90. EFA=90,即 EF AB.6.分析 要证 ABC= AED,只需证 ABC AED.已知 ,故只需证 BA
23、C= EAD,这由1 =2ABAE=ACAD可以解决 .证明 1 =2, 1 + EAC=2 + EAC,即 BAC= EAD.又 , ABC AED.ABAE=ACAD ABC= AED.7.证明 因为 BE,BE分别是 ABC, ABC的中线,所以 .ACAC= CECE因为 ,BCBC= BEBE= ACAC所以 .BCBC= BEBE= CECE所以 BCE BCE.所以 C= C.又因为 ,BCBC= ACAC所以 ABC ABC.8.解 设经过 t s后, BPQ与 ABC相似 .因为 B为公共角,所以要使 BPQ与 ABC相似,只需 ,即 ,解BPBC=BQBA或 BPBA=BQ
24、BC 8-2t16=4t8或 8-2t8 =4t16得 t=0.8或 t=2(均小于 4).所以经过 0.8 s或 2 s后, BPQ与 ABC相似 .6创新应用9.(1)解 如图,证明: AB=AD ,AE为 BAD的平分线,BG=DG.AD BC, ADG= GBE, DAG= GEB, ADG EBG.AG=GE , 四边形 ABED为平行四边形 .AB=AD , 四边形 ABED是菱形 .(2)证明 四边形 ABED是菱形, ABC=60, DBE= BDE=30, BGE=90.设 GE=a,BD= 2BG=2 a,BE=2a,CE=4a,BC=6a.3 .BDBC=BEBD= 33
25、 DBE为公共角, BDE BCD, BDE= C. C=30.DE AB, DEC= ABC=60, CDE=90,ED DC.第 2课时 相似三角形的判定 (2)1.两边 且夹角 的两个三角形相似 . 2.能说明 ABC ABC的条件是 ( )3.在 ABC和 ABC中 ,若 B= B,AB=6,BC=8,BC=4,则当AB= 时 ,ABC ABC. 成比例 相等 C 3 利用 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ”判定两个三角形相似【例】 如图 ,在 ABC中 ,D,E分别是 AB,AC上的点 ,DC交 BE于点 F,且求证 :(1)DEF CBF;(2)DFBF=EFCF.分析 根
26、据已知条件先证明 ADE ABC.点拨 利用 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ”证明三角形相似时 ,一定要确定所选的角是成比例的对应边的夹角 .61 2 3 4 51.满足下列条件的各对三角形中 ,相似的两个三角形是 ( )A. A=60 ,AB=5 cm,AC=10 cm; A=60 ,AB=3 cm,AC=10 cmB. A=45 ,AB=4 cm,BC=6 cm; D=45 ,DE=2 cm,DF=3 cmC. A= D=30 ,AB=8 cm,BC=4 cm;DF=6 cm,FE=3 cmD. A= A,且 ABAC=ACAB答案答案关闭D61 2 3 4 52.已知在 ABC
27、中 ,D,E分别是 AB,AC边上的点 ,且 AD=3 cm,AB=8 cm,AC=10 cm.若 ADE与 ABC相似 ,则 AE等于 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭61 2 3 4 53.如图 ,在 ABC中 ,CD AB于 D,AD=8,CD=6,则当 BD= 时 ,ADC CDB, ACB= . 答案答案关闭61 2 3 4 54.如图 ,为测得一养鱼池的两端 A,B间的距离 ,可在平地上取能直接到达 A和 B的点 O,连接 AO,BO并分别延长到点 C,D,使 OC= .如果量得 CD=30 m,那么池塘宽 AB= . 答案答案关闭60 m61 2 3 4 55.在 ABC中 ,
28、AB=6,AC=8,在 DEF中 ,DE=4,DF=3,要使 ABC与DEF相似 ,可以添加条件 (写出一种情况即可 ). 答案解析解析关闭答案解析关闭61 2 3 4 56.如图 ,已知在正方形 ABCD中 ,P是 BC上的一点 ,且 BP=3PC,Q是 CD的中点 ,求证 :ADQ QCP.答案答案关闭1第 3课时 相似三角形的判定(3)知能演练提升能力提升1.如图,在 ABC中,高 BD,CE交于点 O,下列结论错误的是( )A.COCE=CDCAB.OEOC=ODOBC.ADAC=AEABD.CODO=BOEO2.在 ABC中, P是 AB上的动点( P异于 A,B),过点 P的一条直
29、线截 ABC,使截得的三角形与 ABC相似,我们不妨称这种直线为过点 P的 ABC的相似线 .如图, A=36,AB=AC,当点 P在 AC的垂直平分线上时,过点 P的 ABC的相似线最多有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.如图,在等边三角形 ABC中, D为 BC边上一点, E为 AC边上一点,且 ADE=60,BD=3,CE=2,则ABC的边长为( )A.9 B.12C.15 D.184.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画 .下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相同,则每个图案中花边的内外边缘
30、所围成的几何图形不相似的是( )5.2如图,在平面直角坐标系中有两点 A(4,0),B(0,2),如果点 C在 x轴上( C与 A不重合),当点 C的坐标为 或 时,使得由点 B,O,C组成的三角形与 AOB相似 .(全等除外,填写出满足条件的点的坐标) 6.如图,直线 y=-2x+4与 x轴、 y轴分别相交于 A,B两点, C为 OB上一点,且1 =2,则 S ABC= . 7.如图,已知 ACB= ADC=90,AC= ,AD=2,问当 AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?68.如图, ABC是等边三角形, CE是外角平分线,点 D在 AC上,连接 BD并延长与 CE交于点 E.(1)
31、求证: ABD CED;(2)若 AB=6,AD=2CD,求 BE的长 .39 .如图,在 ABC中, AB=AC=1,点 D,E在直线 BC上运动,点 D在线段 BC的左侧,点 E在线段 BC的右侧 .设 BD=x,CE=y.(1)如果 BAC=30, DAE=105,试确定 y与 x之间的函数关系式 .(2)如果 BAC的度数为 , DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中的 y与 x之间的函数关系式还成立?试说明理由 .创新应用10 .一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分
32、别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法 .请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:如图,在 ABC中, ACB ABC.(1)若 BAC是锐角,请探索在直线 AB上有多少个点 D,能保证 ACD ABC(不包括全等)?(2)请对 BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线 AB上能保证 ACD ABC(不包括全等)的点 D的个数 .4参考答案能力提升1.D2.C 如图,过点 P作 PD BC,则有 APD ABC;连接 PC并延长,易知 PC平分 ACB,则有 CPBABC;过点 P作 PE AC,则有 PBE ABC,所以符合题意的相似线最多有 3条 .3.A 因为 ABC是等边
33、三角形,所以 AB=BC, B= C=60.由 ADE=60,得 ADB+ EDC=120,又因为 ADB+ BAD=120,所以 BAD= EDC.所以 ABD DCE.则 ,设 AB=BC=x,即 ,解ABDC=BDCE xx-3=32得 x=9.4.D 选项 A中,将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交,利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等,因此两三角形相似;B 中,由于任意两个等边三角形相似,因此 B中两三角形相似;同理 C中两个正方形相似;D 中内、外两个矩形对应边不成比例,故两矩形不相似 .5.(1,0) (-1,0)6.3 由已知得 OA=2,O
34、B=4,又1 =2, AOB= AOC,所以 AOC BOA.所以 ,即 .所以OAOB=OCOA 24=OC2OC=1,BC=OB-OC=3.于是得 S ABC= BCOA=3.127.解 在 Rt ACD中, AC= ,AD=2,由勾股定理,6得 CD= .AC2-AD2= 2当 Rt ABCRt ACD时,有 ,所以 AB= =3.ACAD=ABAC AC2AD当 Rt ABCRt CAD时,有 ,所以 AB= =3 .ACCD=ABAC AC2CD 25故当 AB的长为 3或 3 时,这两个直角三角形相似 .28.(1)证明 ABC是等边三角形, BAC= ACB=60, ACF=12
35、0.CE 是外角平分线, ACE=60, BAC= ACE.又 ADB= CDE, ABD CED.(2)解 作 BM AC于点 M,AC=AB= 6,AM=CM= 3,BM= =3 .AB2-AM2 3AD= 2CD,CD= 2,AD=4,MD=1.在 Rt BDM中, BD= =2 .BM2+MD2 7由(1)知 ABD CED,得 =2,ED= ,BDED=ADCD,27ED 7BE=BD+ED= 3 .79.解 (1) BAC=30, DAE=105, DAB+ ADB= (180-30)=75, DAB+ EAC=105-1230=75, ADB= EAC.又 ABD= ACE=18
36、0-75=105, ABD ECA, ,即 xy=1.BDAC=ABCE,x1=1y(2)要使 xy=1还成立,即 ABD ECA,此时 ABC= ACB= (180- ),即 ADB+ DAB= (180- ).12 12 ADB= EAC, EAC+ DAB= (180- ).12-= (180- ),= 90+ .12 12故当 , 满足关系式 = 90+ 时,(1)中 y与 x之间的函数关系式还成立 .12创新应用610.解 (1) 如图,若点 D在线段 AB上,由于 ACB ABC,可以作一个点 D满足 ACD= ABC,使得 ACD ABC. 如图,若点 D在线段 AB的延长线上,
37、则 ACD ACB ABC,与条件矛盾,因此,这样的点 D不存在 . 如图,若点 D在线段 AB的反向延长线上,由于 BAC是锐角,则 BAC90 CAD,不可能有ACD ABC.因此,这样的点 D不存在 .综上所述,这样的点 D有一个 .(2)若 BAC为锐角,由(1)知,这样的点 D有一个;若 BAC为直角,这样的点 D有两个;若 BAC为钝角,这样的点 D有一个 .第 3课时 相似三角形的判定 (3)1.两角分别 的两个三角形相似 . 2.下列各对三角形中不一定相似的是 ( )A.在 ABC中 , A=54 , B=78 ;在 ABC中 , C=48 , B=78B.在 ABC中 , C
38、=90 ,AC=4 cm,BC=3 cm;在 ABC中 , C=90 ,AC=12 cm,AB=15 cmC.在 ABC中 , B=90 ,AB=5,AC=13;在 ABC中 , B=90 ,AB=2.5a,BC=6aD.在 ABC中 , C=90 , A=45 ,AB=5;在 ABC中 , A=45 ,AB=5相等 D 3.如果两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边 ,那么这两个直角三角形 . 4.在 RtABC和 RtABC中 , C= C=90 ,AC=3,BC=4,AB=10,AC=6,则这两个三角形 ,记作 . 成比例 相似 相似 RtABC RtABC 解析 : AC=3,BC
39、=4, AB=5. RtABC RtABC.1.利用 “一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等”判定三角形相似【例 1】 如图 , O是 ABC的外接圆 ,BC是 O的直径 ,D是劣弧 的中点 ,BD交 AC于点 E.求证 :AD2=DEDB.分析 由于 AD2=DEDB 因此只需证明 ADB EDA即可 ,因为 ADB= EDA,所以只需证明 DAC= ABD.点拨 证明线段的等积式的一般思路是证明四条线段所在的两个三角形相似 ,或者先转化其中的等线段 ,再考虑各自所在的三角形相似 ,或者通过等比来代换 .2.判定三角形相似的开放性试题【例 2】 如图 ,要使 ACD ABC,只需
40、添加条件 .(只要写出一种合适的条件即可 ) 解析 :这是开放型题目 ,只要在已知条件下 ,添加的条件符合三角形相似的判定方法即可 .答案 : 1= 2(或 AC2=ADAB等 )点拨 一定要结合已知条件添加 ,此外 ,应熟悉相似三角形的几种判定方法 ,选择一个最简单、最有把握的条件填写 .1 2 3 4 51.如图 ,AB CD,AC,BD交于点 O,BO=7,DO=3,AC=25,则 AO的长为 ()A.10 B.12.5 C.15 D.17.5答案答案关闭D1 2 3 4 52.已知如图 中各有两个三角形 ,其边长或角的度数已在图中标注 ,图 中 AB,CD交于点 O,对于各图中的两个三
41、角形而言 ,下列说法正确的是 ( )A.都相似 B.都不相似C.只有 相似 D.只有 相似答案解析解析关闭答案解析关闭1 2 3 4 53.一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为 8 cm和 15 cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是 6 cm和 cm,这两个直角三角形 相似三角形 .(填 “是 ”或 “不是 ”) 答案答案关闭是1 2 3 4 54.如图 ,在 ABCD中 ,E是边 BC上的点 ,AE交 BD于点 F.如果答案答案关闭1 2 3 4 55.如图 ,在 ABC中 ,AD BC,BE AC,垂足分别为 D,E,AD与 BE相交于点 F.(1)求证 :ACD BF
42、D;(2)当 ABD=45 ,AC=3时 ,求 BF的长 .1 2 3 4 5(1)证明 AD BC,BE AC, ADC= BDF= AEF=90 , CAD+ AFE= FBD+ BFD=90 . BFD= AFE, CAD= FBD, ACD BFD.(2)解 在 RtABD中 , ABD=45 , AD=BD. ACD BFD, AC=3, BF=3.127.2.2 相似三角形的性质知能演练提升能力提升1.已知两个相似三角形对应边上的中线的比为 3 2,则其相应面积之比为( )A. B.3 23 2C.9 4 D.不能确定2.如图, D,E 分别是 ABC 的边 AB,AC 上的点,且
43、 DE BC,BE 交 DC 于点 F.若 EFFB= 1 3,则 的S ADES ABC值为( )A. B.13 19C. D.以上答案都不对333.如图, D,E 分别是 ABC 的边 AB,BC 上的点,且 DE AC,AE,CD 相交于点 O,若 S DOES COA=1 25,则 S BDE与 S CDE的比是( )A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 254.如图是一山谷的横断面示意图, AA为 15 m,用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出 OA=1 m,OB=3 m,OA=0.5 m,OB=3 m(点 A,O,O,A在同一条水平线上),则该山谷的深 h 为 m. 2
44、5.如图,已知 ABC 的面积是 12,BC=6,点 E,I 分别在边 AB,AC 上,在 BC 边上依次作了 n 个全等的小正方形 DEFG,GFMN,KHIJ,则每个小正方形的边长为 . 6.如图,在 ABCD 中, P 为边 AD 上的一点, E,F 分别是 PB,PC 的中点, PEF, PDC, PAB 的面积分别为S,S1,S2.若 S=2,则 S1+S2= . 7.如图,在 ABCD 中, E 是 CD 的延长线上一点, BE 与 AD 交于点 F,DE= CD.12(1)求证: ABF CEB;(2)若 DEF 的面积为 2,求 ABCD 的面积 .8.某社区拟筹资金 2 00
45、0 元,计划在一块上、下底分别是 10 m,20 m 的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在 AMD 和 BMC 地带种植单价为 10 元 /平方米的太阳花 .当 AMD 地带种满花后,已经花了 500 元,请你预算一下,若继续在 BMC 地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由 .3创新应用9 .下列图形中,图 是边长为 1 的阴影正三角形,连接它的各边中点,挖去中间的三角形得到图 ;再分别连接剩下的每个阴影三角形各边中点,挖去中间的三角形得到图 ;再用同样的方法得到图 .(1)请你求出图 中阴影部分的面积;(2)若再用同样的方法继续下去,试猜想图 n 中阴影部分的面积 .参考答案
46、能力提升1.C2.B 由 DEF CBF,求得 ,再由 ADE ABC,求得 .EDBC=EFFB=13 S ADES ABC=(13)2=193.B 由 DE AC,可得 DOE COA, BDE BAC,而 DOE 与 COA 的面积比为 1 25,所以这两个三角形的相似比为 1 5,即 DECA= 1 5.根据 BDE BAC,得 BEBC=DECA= 1 5,所以BEEC= 1 4.因为 BDE 与 CDE 的高相等,底边 BEEC= 1 4,所以 S BDE与 S CDE的比是 1 4.4.30 如图,将线段 AB向左平移,使 B与 B 重合,交 AA于点 C.因为 BC AB,所以
47、 ABC ADA, ,即 ,所以 h=30(m).ACOB=AAh 1.53=15h45. 设 ABC 底边 BC 上的高为 h,每个小正方形的边长为 x,则 EI=nx,根据三角形的面积公式122n+3可得 12= 6h,解得 h=4,所以 AEI 底边 EI 上的高为(4 -x).因为四边形 EIJD 为矩形,所以12EI BC,所以 AEI ABC,所以 ,解得 x= .4-x4 =nx6 122n+36.8 由于 E,F 分别是 PB,PC 的中点,根据中位线的性质知 EF BC,且 EF= BC.易得 PEF PBC,且12其面积的比是 1 4.由 S=2,得 PBC 的面积为 8.
48、又根据平行四边形的性质,把 S1+S2看作整体,求得S1+S2=S PBC=8.7.(1)证明 四边形 ABCD 是平行四边形, A= C,AB CD. ABF= CEB, ABF CEB.(2)解 四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC,AB CD. DEF CEB, DEF ABF.DE= CD,12 ,S DEFS CEB=(DEEC)2=19.S DEFS ABF=(DEAB)2=14S DEF=2,S CEB=18,S ABF=8.S 四边形 BCDF=S BCE-S DEF=16.S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S ABF=16+8=24.8.解 不够用 .理由:
49、在梯形 ABCD 中, AD BC,所以 AMD CMB.因为 AD=10 m,BC=20 m,所以 .S AMDS BMC=(1020)2=145因为 S AMD=50010=50(m2),所以 S BMC=200 m2.还需要资金 20010=2 000(元),而剩余资金为 2 000-500=1 5002 000,所以资金不够用 .创新应用9.解 (1)图 中正三角形的面积为 .图 中空白三角形与原三角形的相似比为 1 2,因此其面积34比为 1 4,所以图 中阴影部分的面积为 .同理图 中阴影部分的面积为 ,图 中3434 34(34)2阴影部分的面积为 .34(34)3= 342764=273256(2)图 n 中阴影部分的面积为 .34(34)n-1
