1、2.2.2 反证法课时演练促提升A 组1.实数 a,b,c 不全为 0 等价于( )A.a,b,c 全不为 0B.a,b,c 中最多只有一个为 0C.a,b,c 中只有一个不为 0D.a,b,c 中至少有一个不为 0答案:D2.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有有理根,那么 a,b,c 中存在偶数”时,否定结论应为( )A.a,b,c 都是偶数B.a,b,c 都不是偶数C.a,b,c 中至多一个是偶数D.至多有两个偶数解析:“ a,b,c 中存在偶数”,即“a,b,c 中至少有一个偶数”,故其否定为 “a,b,c 都不是偶数”.选 B.答案:B3.已知 x10,
2、x11,且 xn+1=(n=1,2,),试证“数列x n对任意的正整数 n 都满足 xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时应为( )来源:学优高考网 gkstkA.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1B.存在正整数 n,使 xn=xn+1C.存在正整数 n,使 xnx n+1D.存在正整数 n,使 xnx n+1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:D4.实数 a,b,c 满足 a+2b+c=2,则( )A.a,b,c 都是正数B.a,b,c 都大于 1C.a,b,c 都小于 2D.a,b,c 至少有一个不小于解析:假设 a,b,c 均小于,则 a+2b+cb,那么,假设的内容应是 . 答
3、案:7.完成反证法证题的全过程.设 a1,a2,a7是 1,2,7 的一个排列,求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设 p 为奇数,则 a1-1,a2-2,a7-7 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数 ,故有奇数= = =0.但 0奇数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析:据题目要求及解题步骤,因为 a1-1,a2-2,a7-7 均为奇数,所以(a 1-1)+(a2-2)+(a7-7)也为奇数.即(a 1+a2+a7)-(1+2+7)为奇数 .又因为 a1,a2,a7是 1,2,7 的一个排列,所以 a1+a2+a7=1+2+7,故上式为 0.所以奇数=(a 1-1
4、)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0.答案:(a 1-1)+(a2-2)+(a7-7) (a1+a2+a7)-(1+2+7)8.已知三个正数 a,b,c 成等比数列 ,但不成等差数列,求证: 不成等差数列 .来源 :学优高考网 gkstk证明:假设成等差数列,则=2,即 a+c+2=4b,而 b2=ac,即 b=,所以 a+c+2=4,所以() 2=0,即.从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾,故不成等差数列.9.已知 f(x)是 R 上的增函数,a,bR.证明:(1)若 a+b0,则 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);(2)若 f(a
5、)+f(b)f(-a)+f(-b),则 a+b0.证明:(1)因为 a+b0,所以 a-b,b-a,又 f(x)是 R 上的增函数,所以 f(a)f(-b),f(b)f(-a),由不等式的性质可知 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)假设 a+b0,则 a-b,b-a,因为 f(x)是 R 上的增函数,所以 f(a)f(-b ),f(b)f( -a),所以 f(a)+f(b)f(-a )+f(-b),这与已知 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.B 组1.两条相交直线 l,m 都在平面 内且都不在平面 内.命题甲:l 和 m 中至少有一条与
6、平面 相交,命题乙: 平面 与 相交 ,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知 与 相交,设交线为 a,假设 l,m 都与平面 平行,则 al ,am ,所以 lm ,这与已知 l 与 m 相交矛盾,所以乙甲.若已知 l,m 中至少有一条与平面 相交,不妨设 l=A,则点 A,且点 A,所以 与 必有一条过点 A 的交线,即甲乙.故选 C.答案:C2.已知数列a n,bn的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数 ),且 ab,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为( )A.0 B.1C.2 D.无穷多解析
7、:假设两个数列中的第 n 项相同,则由 an=bn,得 an+2=bn+1,即 (a-b)n=-1. ab, a-b0.又 nN *, (a-b)n0.这与(a-b)n=-1,(1-b)c,(1-c)a. a,b,c 都是小于 1 的正数, ,从而.但是=,与上式矛盾. 假设不成立,即原命题成立.6.已知直线 ax-y=1 与曲线 x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点,是否存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O?若存在,试求出 a 的值;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,则 OPOQ.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则=- 1,所以 (ax1-1)(ax2-1)=-x1x2,即(1+a 2)x1x2-a(x1+x2)+1=0.由题意得(1- 2a2)x2+4ax-3=0,所以 x1+x2=,x1x2=.来源 :学优高考网 所以(1+a 2)-a+1=0,即 a2=-2,这是不可能的 .所以假设不成立.故不存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.
