1、厦门工学院大学课程教学计划 1大学课程教学总结课程名称：高等数学（Advanced Mathematics）教学单位： 课程代码：微积分学（上）-概括与总结第一、 二章 函数的极限与连续一、函数1、理解函数的概念(要求：会求定义域、对应法则、函数值)-函数的定义、分段函数、显函数： ，隐函数：)(xfy，参数式函数、反函数（求法） 、复合函数、 基本初等函0),(yxF厦门工学院大学课程教学计划 2数与初等函数2、掌握函数的几何性质1） 有界性： （利用-定义、或闭区间上连续的有界性、Mxf)(或存在极限必有界-判别）2） 奇偶性： 若 ，则 为奇函数)()(xff)(f若 ， 则 为偶函数x
2、（注意：奇偶的结合律）单调增： )(,2121xffx3） 单调性： 单调减： )(,2121xffx（注意利用- 若 则 在 上为单调增加0f ba,（减少）4） 周期性：若 ，则称最小正数 为 的周期，fxlfl)(xf为周期函数。 )(xf二、 极限（重点-极限、无穷大量与无穷小量的概念、求极限的方法）厦门工学院大学课程教学计划 31、 极限的概念与性质1) 函数与数列极限的定义 （略）2）左右极限、极限存在的充要条件0 00lim(limli(x xxfAffA存 在 ） 存 在 ）即-极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。3）极限的性质- 有界性、唯一性、保号性。2、无穷大量与无穷
3、小量1) 定义： 若 时，f(x)为无穷）（ 或， 则 称 xxfx 0)(0lim0小量若 ，则称 ，时，g（x）是无穷大0()lixg )0x（ 或量。2) 无穷大与无穷小的关系： 01limli,1lim0li 3） 、极限与无穷小量的关系： 0liAf(x) =lif() 无穷小量的性质- 主要的：lim0,lim)0fxfx有 界 ， （厦门工学院大学课程教学计划 44）无穷小的阶的比较定义：设 是同一种变化趋势下的无穷小,即则：0lim,li（1）如果 ,就说 是比 高阶的无穷小,记作 ；o（2）如果 ,就说 是比 低阶的无穷小；li（3）如果 ,就说 与 是同阶无穷小；0c（4）
4、如果 ,就说 是关于 的 阶无穷小；limkk， k（5）如果 ,就说 与 是等价无穷小,记作 .1常见的等阶无穷小： 时，sinxx, ln(1+x)x, ，0x tanx:。1xe:3、求极限的主要方法1） 极限运算法则2） 左右极限存在且相等3） 极限存在的准则（两边夹 Th.（准则） 、单调有界 Th. （准则） ）4） 无穷大与无穷小的关系、无穷小量的性质5） 两个重要极限 （ 、 ）1sinlm0xexx10)(li6） 洛必塔法则 （ ）0lixfg或 型厦门工学院大学课程教学计划 5= 0limxfg=A(或 )。三、 连续1、函数连续的概念1）函数 y=f（x）在 点连续的定
5、义（设 y=f(x)在 点的某个0 0x邻域 内有定义）0U若 则称 f(x)在 点)(lim)()(limli 000 0xffxfxfy xx （ 或 0x连续， 称为连续点。02） 连续函数的定义-若 f(x)在(a,b)上点点都连续，则称 f（x）是（a，b）上的连续函数。(a,b)称为 f(x)的连续区间。若 f(x)在 上连续，则还要求：,ablim(,xabff点 右 连 续 ）点 左 连 续 ）3） 间断点的分类厦门工学院大学课程教学计划 6第一类间断点（左、右极限存在的间断点）举 例 ）可 去 间 断 点 ：有 穷 跳 跃 间 断 点 ： )(lim)(li 000 xffx
6、fxx第二类间断点（左、右极限至少一个不存在的间断点）无 穷 间 断 点 (左 、 右 极 限 至 少 一 个 是 无 穷 的 ）振 荡 间 断 点2、连续函数的主要性质1）一切初等函数在其定义域对应的区间内连续2）连续与极限的关系：连续 极限存在 一 定不 一 定3）闭区间上连续函数的性质若 在 上连续，则)(xf,ba（1） 、一定有界： （有界性 Th.） 。,|)(| baxMf（2） 、一定存在最大值 和最小值 （最大和最小值mTh.） 。（3） 、对于任一个 ： ，存在 使u),(bauf(（介值 Th.） 。（4） 、如果 =0 )(),(,0)( cfbabfa ， 使内 至
7、少 存 在 一 点那 么 在（零点 Th.） 。厦门工学院大学课程教学计划 7第三章 导数与微分一、导数与微分的概念1、 导数定义1) xffxf)(lim)(02） xffxf )(li)( 000导数定义的几种等价形式：00000limlixhxfxffff3）导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即（左导数） 0000 )(lim)(lim)( 0xfxffxf x （右导数） 0000 )(li)(li)( 0ffff xx 000fxff（ 存 在 ） （ 存 在 ）厦门工学院大学课程教学计划 82、 导数的几何意义=曲线 在点 处的切线的斜率tgxyf0lim)( )(xf)
8、,(0y因此, 曲线 在 点的)(f,0y切线方程为： )(0xfy法线方程为： )(100f3、 微分的定义增量 )(xfxfyAox若微分 dy= =Ad4、 连续、导数与微分的关系： 一 定不 一 定可 导 连 续 不 一 定一 定不 可 导 不 连 续可导 可微 一 定一 定 一 定不 一 定 连 续二、导数与微分基本公式）厦门工学院大学课程教学计划 9（导数） （微分）0)(c 0dc1x xx.)(1cos)(sin cosinxi xddi2sec)(ta 2sectaxxo xotan.sec)( ddtan.secxxo xxal.)( l.xe dxexaaln1)(log
9、 aaln1)(logxl dxl21)(arcsi d21)(arcsiox dxxo21)(arctn d21)(arctndxxototx三、导数与微分法则1、 四则运算法则厦门工学院大学课程教学计划 10设 均可导、可微，则)(,xvu也可导、可微0cv且 )(vuduvd c c )(vvv 2uv2ud 2)(c2cv2、 复合函数的微分法则（导数）若 y=f(u),u= 均可导，则)(xyfx也 可 导 ， 且 yfxfx或 dyu(微分)微分形式不变性： dfufdxxfxd3、 隐函数 的求导方法,0Fxy方法一：复合求导法-方程两边对 x 求导，再解出 y厦门工学院大学课程
10、教学计划 11方法二：微分法求导法-方程两边微分先出微分，再求导数4、 对数求导法-先取对数后求导的方法5、高阶求导法-一阶、一阶地求导，再找规律6、 参数方程 确定的函数 y=f(x)求导法12xty- 1tdx 22 11t tdyddxxx第四章 微分中值定理与导数应用一、 微分中值定理-费马 Th.、罗尔 Th.、拉格朗日 Th.、柯西 Th.、泰勒 Th.1、若 f(x)在a,b上连续，在 (a,b)内可导，则厦门工学院大学课程教学计划 12 ., ., ., 0(Th),(hfabfabgxfxfbfafgg 至 少 存 在 一 点 使至 少 存 在 一 点 使也 满 足 的 条
11、件至 少 存 在 一 点 使 ， 罗 尔 拉 格 朗 日 ）柯 西 ）2、 2 个推论0(）xfcxf）（gg)()3、 泰勒 Th.若 在含有 的某个区间 内存在直到 阶导xf0ba, 1n数，则对该区间 内任意点 都有：ba,xRxnfxfxfxf n 000000 !2其中： ， （ 在 与 之间的数）称为拉101!nnnxfxR0x格朗日型余项，且0limnx 0nox 另 外 有 佩 亚 诺 型 余 项当 时，泰勒公式称为麦克劳林公式：0,nknkxRfxf0!10,!1nnxf二、洛必塔法则（ ）0limxfg或 型厦门工学院大学课程教学计划 13= 0limxfg=A(或 )。（
12、其他未定型极限要先化为 后才用该法则）0或 型三、函数单调性曲线的凹凸性及拐点的判别方法1、 （ ） 函数 为单调增加的（减少的）0fxfxxf2、 0 ( 时 ， 说 明 需 求 量 的 变 化 幅 度 大 于 价 格 的 变 化 幅 度 （ 富 有 弹 性 ）=时 ， 说 明 需 求 量 的 变 化 幅 度 等 于 价 格 的 变 化 幅 度 （ 单 位 弹 性 ）厦门工学院大学课程教学计划 17第五章 不 定 积 分一、不定积分的概念与性质1、概念：若 F(x)=f(x), ，则称 F(x)是 f(x) （ ）的一个原函数. xIxIF（x） +c 称为 f(x) 的不定积分，记为 ，即
13、 ，f()dcx)(Ff()d2、 不定积分的性质1）积分与微分的关系：)(f(x)df cxf)()dfdx2) 积分的运算性质：dxfk)(f(x)dxff)( 21213) 积分的形式与积分变量选择无关若 =F(x)+cf(x)d则 。uFc厦门工学院大学课程教学计划 18二、积分基本公式1、 2、c0dx ckxd3、 4、)1(1n 不 为nc |ln15、 6、axldx cexd7、 8、csinco ossin9、 10、221etanxdxc 221cctixdxc11、 12、setansecxx csotcsxdx13、 （或 ）cxdxarsin12 arcosx14、
14、 2t(t)或15、 16、tancosxdLx cotsinxdLxc17、 18、secetancxx19、 20、21arcsinxd21arctnxdxa21、 等。Lnx三、掌握主要的积分方法与技巧1、第一换元积分法（凑微分法）厦门工学院大学课程教学计划 19若 , 可微)( ufF)(x则 （对比积分公式- ）dx fudFcxduuxfxFc凑 微 分换 元积 分回 代2、 第二换元积分法（变量代换法）（对 x 难积分）fd（ ）xttt换 元 0tt单 调 可 微 ， 且（变形后对 t 易积分）gd化 简 11txGtc积 分反 代一般上，若 f(x)含有因子：1） 求 积 分
15、则 设或 tbeaxax,2） 积分求或则 设 axtcossin,23）. tx则 设 或 求 积 分4）. 积分求或则 设 xtacsse,23、分部积分法（或部分积分法）给 出 1122LIATEfxfxduvdu方 法 或如 何厦门工学院大学课程教学计划 204、 有理函数、三角函数有理式的积分法（用综合除法、 （ 设 tan2x待定系数法） 或 等）si第六章 定 积 分一、定积分的概念与性质1、 定积分的概念=basfxd01limniinifx或积分变量选择无关，即。babadtfxf)()(定积分的几何意义-曲边梯形的面积 S2、 定积分的性质厦门工学院大学课程教学计划 211
16、） 、 bababa dxkdxk 00()(时时 为 常 数 ， 下 同 ）2） 、 （规定） )(f3） 、 abbadxdxf)(4） 、 afk)( 5） 、 bbaba dxfxxxf )()( 21216） 、 =dccaff)()(7） 、若 f(x) g(x),x a,b，则 |)(|)(|)()( babababa dxfxfxgxf特 别 地 ，8） 、 （积分估值 Th.） ,bamMabfxb若 最 小 值 最 大 值则9） 、 （积分中值 Th.）若 f(x)在a,b上连续，则在（a,b）内至少存在一点 c，使得 )()(abcfdxfba10） 、 （奇偶性）0,(
17、2aafxfxdd为 奇 函 数 ）为 偶 函 数 )二、可变上、下限积分及其求导 Th1 xadftfx2 bxgftdfx厦门工学院大学课程教学计划 223 xadftfx4 =bdx）（ ）（ dtf fx5 21 21xftfxfx三、牛顿-莱布尼兹公式Newton-Leibniz 公式：若 在a,b上连续.且 ，则xf xfFbabaxd)(|)()(四、定积分的换元积分法与分部积分法 1、第一 换元积分法设 可 微)(),()(xufF则有 bbaabafxdfxdFF2、第二 换元积分法（变量代换法）厦门工学院大学课程教学计划 23（对 x 难积分）badf)(（换元的同时要换限
18、，且换元dtttx )()(设方法与不定积分的换元法类同）。)(|)()(Gtdtg积 分化 简3、分部积分法给出 1122bbaafxfxd或bbLIAETaauvvu 方 法五、广义积分法（反常积分法）-变上、下限积分的极限法limtaatfxdfxd（x=b 为瑕点） 。baba xfxf)(li)(0六、定 积 分 在 几 何 学 上 的 应 用厦门工学院大学课程教学计划 241、 面 积 公 式 2、 旋 转 体 的 体 积 公 式basfxd dxfVbax)(2basfxg 22bxafxgxdcsy 2dycVy21sd七、定 积 分 在 经 济 上 的 应 用1、 由边际函数
19、求原函数已知总成本函数 ，总收益函数 ，其中 为产品数()Cq()Rq量，那么 边际成本函数 ， dCMq边际收益函数 .R如果已知 ， ，则()MCfq()Rgq（ 是固定成本） ，00xdC()()qx所以总利润函数为厦门工学院大学课程教学计划 25.00()()()qLqRCgxfdC2 、 由变化率求总量已知某产品在时刻 的总产量的变化率为 ，则从时刻 到时t )(tf1t刻 的总产量为2t.21)(tdfQ3、 收益流的现值和将来值收益流 随时间 连续变化的收益)(tRt收益流量 收益流 对时间的变化率，即 P)(R)(tRP(1)收益流的现值为: ；TrtdeP 0(2)收益流的将来值为: tTrT )(厦门工学院大学课程教学计划 26厦门工学院大学课程教学计划 27
