1、第三讲 圆锥曲线性质的探讨3.1 平行射影A 级 基础巩固一、选择题1下列说法正确的是( )A正射影和平行射影是两种截然不同的射影B投影线与投影平面有且只有一个交点C投影方向可以平行于投影平面D一个图形在某个平面的平行射影是唯一的答案：A2若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的正射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是( )A垂直 B异面C相交 D不能确定解析：当这条直线在平面内，则 A 成立，若这条直线是平面的垂线，则 B 或 C 成立答案：D3直线 a，b 在平面 内的正射影互相平行，则直线 a，b 的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D平行或异面答案：D4RtABC 的斜边 BC
2、在平面 内，则ABC 的两条直角边在平面 内的射影与斜边组成的图形只能是( )A一条线段 B一个锐角三角形C一个钝角三角形 D一条线段或一个钝角三角形答案：D5球在点光源 P 的照射下，在一个平面 上的射影的形状为( )A圆B椭圆C圆或椭圆D圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支解析：设平面 与 PO 的夹角为 (O 为球心) ，若 ，则射影2为圆；再设 PO 与过 P 点的球的切线的夹角为 ，则 时，射影为双曲线的一支答案：D二、填空题6一条直线在平面上的正射影是_解析：当直线和平面垂直的时候，直线在平面内的正射影是一个点；当直线和平面不垂直的时候，直线在平面内的正射影是一条直线答案：一个点或一条直
3、线7下列语句不正确的是_(填序号)(1)正射影是平行射影的特例；(2)平行于投影面的线段，它的平行射影与这条线段平行且相等；(3)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比；(4)两条相交直线的平行射影还是两条相交直线解析：正射影是平行射影的特例，从而(1)正确；根据平行射影的性质，(2)是正确的；同样(3) 也是平行射影的性质，因此也正确而(4) 中，两条相交直线的平行射影是两条相交直线或一条直线，故(4)不正确答案：(4)8.如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PAPBPC BC，且BAC ，则 PA 与底面 ABC 所成角为_2解析：如图所示，PA 在面 ABC 的正
4、射影必在 BC 中点 E 及点A 的连线上，则所求角平面为PAE.又BAC ，则 A 在以 BC 为直径的圆周上，即 AE BC.2 12易得PAE 为直角三角形，且PAE .故所求为 .3 3答案：3三、解答题9.如图所示，已知 DA平面 ABC，ABC 是斜三角形，A 是 A 在平面 BCD 上的正射影，求证 A不可能是BCD 的垂心证明：假设 A为BCD 的垂心，连接 BA，并延长 BA交 CD于点 E，则 ABCD.由题意知 AA平面 BCD 于点 A，所以 AACD.又因为 AAA BA，所以 CD平面 AAB.所以 AB CD.又因为 DA平面 ABC，所以 DAAB，所以 AB
5、平面 ACD.所以 AB AC，这与 ABC 是斜三角形相矛盾，故 A不可能是BCD 的垂心10在矩形 ABCD 中，AB 4，BC3，沿对角线 AC 把矩形折起，使 D 点在平面 ABC 内的射影恰好落在 AB 上，则三棱锥D ABC 的体积为多少？解：因为 D 点在平面 ABC 内的射影恰好落在 AB 上，AB BC，所以 BC平面 ABD，所以 BC BD，所以BD ，V D ABCV C ABD BCSABD ，如下图713 372B 级 能力提升1如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A内心的平行射影还是内心B重心的平行射影还是重心C垂心的平行射影还是垂心D
6、外心的平行射影还是外心解析：三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常也发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心答案：A2在四棱锥 P-ABCD 中，四条侧棱都相等，底面 ABCD 是梯形，AB CD，ABCD.为保证顶点在底面 ABCD 所在平面上的正射影 O 落在梯形 ABCD 外部，则底面 ABCD 需满足条件_(填上你认为正确的一个充分条件即可) 解析：由已知四条侧棱都相等，得 P 在底面 ABCD 上的正射影O 应为四边形 ABCD 的外接圆圆心，要使圆心 O 在四边形 ABCD 外，则应使ACB90 (或 ADB90)答案：ACB90 (或 ADB90)3.求证：在同一直线上的两条线段的平行射影的比等于这两条线段的比已知：如图所示，C 是线段 AB 上任一点，C ，A，B分别是 C，A，B 在平面 上沿直线 l 方向的平行射影求证： .ACA C CBC B证明：由平行射影的定义知，AAl，BB l ，CC l ，所以 AABBCC.由平行线分线段成比例定理，得 .ACAC CBCB
