1、课题：“点差法”在解析几何题中的应用课时：18课型：复习课复习引入：在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 ，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点12,xy、坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程例 1 已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹方程.21xy2解 设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 .12,PxyQP,Mxy则 ， （1） ， （2）21xy2得： ，22110xy.121212xyx又 ， .121212,
2、yx40xy弦中点轨迹在已知椭圆内， 所求弦中点的轨迹方程为 （在已知椭圆内）.例 2 直线 （ 是参数）与抛物线 的相交弦是:50laxya2:1fyx，则弦 的中点轨迹方程是 .AB解 设 ， 中点 ，则 .12,B、 A,Mx12， 过定点 ， .:50laxyl5N51ABMNykx又 ， （1） ， （2）21y21x得： ， 11212yx.1212ABykx于是 ，即 .5x7y弦中点轨迹在已知抛物线内， 所求弦中点的轨迹方程为 （在已知抛物27yx线内）.2 求曲线方程例 3 已知 的三个顶点都在抛物线 上，其中 ，且 的重ABC23yx2,8ABC心 是抛物线的焦点，求直线
3、的方程.G解 由已知抛物线方程得 .设 的中点为 ，则 GM、 、 三点共8,0GBC0,My线，且 2AM， 分 所成比为 ，于是 ，A20281xy解得 ， .014xy,4设 ，则 .12,BCy128y又 ， （1） ， （2）23yx3x得： ， .2112y1212348BCykxy所在直线方程为 ，即 .BC4x40例 4 已知椭圆 的一条准线方程是 ，有一条倾斜角为210xyab1x的直线交椭圆于 两点，若 的中点为 ，求椭圆方程.AB、 ,24C解 设 ，则 ，且 ， （1）12,xy、 1212,xy21xyab， （2） 得： ，2xab1212ab， ， ， （3221
4、21 1bxybxaya 21ABybkxa2b）又 ， ， （4）21c2c而 ， （5）由（3） ， （4） ， （5）可得 ，22ab221,4ab所求椭圆方程为 .214xy3 求直线的斜率例 5 已知椭圆 上不同的三点 与焦点219xy129,4,5AxyBCxy的距离成等差数列.（1）求证： ；（2）若线段 的垂直平分线与4,0F18A轴的交点为 ，求直线 的斜率 .xTBk（1）证 略.（2）解 ， 设线段 的中点为 .128xAC04,Dy又 在椭圆上， ， （1） ， （2）AC、2159y2159x得： ，122211x.1212 0099836552yxyy直线 的斜率
5、， 直线 的方程为 .令DT036DTkDT0025436yx，得 ，即 ， 直线 的斜率 .0y6425x,B9425k4 确定参数的范围例 6 若抛物线 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数2:Cyx:3lymx的取值范围.m解 当 时，显然满足.0当 时，设抛物线 上关于直线 对称的两点分别为C:3lymx，且 的中点为 ，则 ， （1） ， （2）12,PxyQy、 P0,M2y2yx得： ， ，1212x12120PQykx又 ， .PQkm0y中点 在直线 上， ，于是 . 中,Mx:3lmx003ymx052x点 在抛物线 区域内2y，即 ，解得 .20x2510综上可知，所求
6、实数 的取值范围是 .m,5 证明定值问题例 7 已知 是椭圆 不垂直于 轴的任意一条弦， 是AB210xyabxP的中点， 为椭圆的中心.求证：直线 和直线 的斜率之积是定值.OABOP证明 设 且 ，12,xy12x则 ， （1） ， （2）21ab2ab得： ，2112xy， .2121byxay2121ABbxykxay又 ， ， （定值）.12OPk2ABOPba 2ABOPk6 处理存在性问题例 8 已知双曲线 ，过 能否作直线 ，使 与双曲线交于 ，21xy1,lP两点，且 是线段 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说QBPQ明理由.解 假设这样的直线存在，设 的坐标分别为 ，则 ，,12,xy12x，又 ， （1） ， （2）12y21xy2x得： ，22110yy1210xy的斜率 PQ21kx又直线 过 三点， 的方程为 ，即 .l,Bl12yx21yx但若将 代入 整理得方程 ，而此方程无实数2yx2 430解，所以满足题设的直线不存在.
