1、22 圆内接四边形的性质与判定定理1圆内接多边形的定义如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做_，这个圆叫做多边形的_2圆内接四边形的性质定理 1：圆内接四边形的对角_圆内接四边形的性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_3圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆4判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形四个顶点共圆5如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，求证： A、B、C 、D 四点共圆预习导学1圆内接多边形 外接圆2互补 对角3互补 4对角5证明：四边形 ABCD 为矩形，OAOC ，
2、OBOD，ACDB，OAOB OCOD.点 A、B 、C、D 到 O 点的距离相等，A、B、C、D 这四个点在以点 O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上一层练习1已知四边形 ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有 ( )如果AC，则A 90；如果AB，则四边形 ABCD 是等腰梯形；A 的外角与C 的外角互补；AB C D 可以是 1234.A1 个 B2 个C3 个 D4 个1B 2圆内接平行四边形一定是( )A正方形 B菱形C等腰梯形 D矩形2.D3下列命题中，真命题的个数为( )任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；矩形有唯一的外接圆；菱形有外接圆；正多边形有外接圆A1 个
3、 B2 个C3 个 D4 个3解析：错误，任意三角形有唯一的外接圆；正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等答案：B4如图所示，四边形 ABCD 为O 内接四边形，已知BOD60，则BAD_ ，BCD _.430150 二层练习5在圆内接四边形 ABCD 中，A BCD 可以是( )A4231 B4312C4132 D以上都不对5.B 6如图所示，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，过 C 作 CEAB 交 AD 的延长线于 E，那么与BCE 互补的角是( )ABADBADCCCDEDDEC6.C 7如图所
4、示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，点 E 为 AB 延长线上一点，CBE 40，则 AOC 等于 ( )A20B40C80D1007.C8如图所示，PA 为O 直径，PC 为O 的弦，过 的中点 H 作 PC 的垂线交 PC 的AC 延长线于点 B.若 HB6，BC4，则O 的直径为( )A10B13C15D208解析：连 PH 及 CH，由圆内接四边形的性质定理有BCH A，则PAHHCB ， ，PACH HABC又 CH HA，则 PA13.答案：B9若圆内接四边形中 3 个相邻的内角比为 564，则这个四边形中最大的内角为_，最小的内角为_9120 6010如图，O 的内接四边形
5、 BCED，延长 ED、CB 交于点 A，若BDAE ，AB4，BC 2， AD3，则 DE_， CE_10解析：由圆内接四边形的性质定理有ADBC， ABD E.则ABDAEC，则 代入数据即得 DE5，CE 2 .ADAC ABAE BDCE 7答案：5 2 7三层练习11如下图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若PB1，PD3，则 的值为_BCAD11.1312如图所示，在ABC 中， ADDB ，DFAB 交 AC 于点 F，AEEC ，EGAC交 AB 于点 G.(1)求证：点 D、E 、F、G 四点共圆；(2)求证：点 G、B 、C、F
6、 四点共圆12证明：(1)连接 GF，由 DFAB，EGAC ，知GDFGEF90，GF 中点到点 D、E、F 、G 四点距离相等点 D、E、F、G 四点共圆(2)连接 DE.由 ADDB，AEEC，知 DEBC，ADEB.又由(1)中点 D、E 、F、G 四点共圆，ADEGFE.GFEB.BGFC180.点 G、B、C、F 四点共圆13如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点E，且 CBCE.(1)证明：D E ；(2)设 AD 不是 O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形13证明：(1)由题设知 A，B ，C，D
7、四点共圆，所以 DCBE.由已知得CBEE，故D E.(2)如图设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN上又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD .所以 ADBC，故ACBE.又CBE E，故A E.由(1)知，DE，所以 ADE 为等边三角形14如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214xmn0 的两个根(1)证明：C，B，D，E 四点共圆；(2)若A90，且 m4，n 6，求 C、B、D
8、、E 所在圆的半径14 解析：(1)连接 DE，根据题意在 ADE 和ACB中，ADABmn AE AC，即 .ADAC AEAB又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以 C，B ，D ，E 四点共圆(2)m4，n6 时，方程 x214xmn0 的两根为 x1 2，x 212.故 AD2，AB12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H点，连接 DH.因为 C，B，D ，E 四点共圆，所以 C，B， D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A90，故 GHAB，HFAC.从而 HFAG 5，DF (122) 5
9、.12故 C，B，D， E 四点所在圆的半径为 5 .21当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明2判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)3圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题4判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相
10、等来证明【习题 2.2】1证明：ADBC，BE AC ，ABD 和ABE 均为直角三角形设 O 是 AB 的中点，连接 OE，OD，如图所示，则OE AB，OD AB，OE ODOAOB，A ，B ，D ，E 四点共圆，12 12CEDABC.2已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相垂直，E，F，G，H为各边的中点求证：E，F，G ，H 四点共圆证明：如图所示，连接 EF，FG，GH，HE，点 E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点， FGBD，GHAC，又 ACBD，FGGH.同理可证HEEF .HEF FGH180，F，G ，H，E 四点共圆3证明：如图所示，A，B，C，D 四点共圆，FCE A .CFGFCE CEF，DGF AAEG，而AEGCEF，CFGDGF .
