1、A 组1.已知 x+y=1,则 x4+y4 的最小值是 ( )A. B. C. D.1解析:由柯西不等式知(x 4+y4)(12+12)(x 2+y2)2,因为 x+y=1,所以 x2+y2 ,所以 x4+y4 ,当且仅当 x= ,y= 时,等号成立 .答案:B2.已知 x+y=1,那么 2x2+3y2 的最小值是( )A. B. C. D.解析:2x 2+3y2=( x)2+( y)2( )2+( )2 x+ y)2= (x+y)2= .当且仅当 2x=3y,即 x= ,y= 时等号成立.答案:B3.函数 y= +2 的最大值是( )A. B. C.3 D.5解析:根据柯西不等式,知 y=1
2、 +2 ,当且仅当 =2 ,即 x= 时,等号成立.答案:B4.已知 x,y0,且 xy=1,则 的最小值为 ( )A.4 B.2 C.1 D.解析: =22=4,当且仅当 x=y=1 时等号成立.答案:A5.已知 2x2+y2=1,则 2x+y 的最大值是( )A. B.2 C. D.3解析:2x+y= x+1y ,当且仅当 y= x,即 x=y= 时等号成立,即 2x+y 取到最大值 .答案:C6.设 a,b,m,nR,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(a 2+b2)(m2+n2)( am+bn)2,即 5(m2+n2)25, m2+n25,当
3、且仅当 an=bm 时,等号成立. 的最小值为 .答案:7.设实数 x,y 满足 3x2+2y26,则 2x+y 的最大值为 . 解析:由柯西不等式,得(2x+y)2( x)2+( y)2=(3x2+2y2) 6 =11.当且仅当 3x=4y,即 x= ,y= 时等号成立.因此 2x+y 的最大值为 .答案:8.已知 a +b =1,求证 a2+b2=1.分析:利用柯西不等式,把式子进行调整、变形 .证明:由柯西不等式,得(a +b )2 a2+(1-a2)(1-b2)+b2=1,当且仅当 时取等号.故 ab= ,即 a2b2=(1-a2)(1-b2),于是 a2+b2=1.9.大家分别用“综
4、合法”“比较法”和“ 分析法”证明了不等式:已知 a,b,c,d 都是实数,且 a2+b2=1,c2+d2=1,则|ac+bd|1.这就是著名的柯西(A.-L.Cauchy,法国数学家、力学家) 不等式当 n=2 时的特例,即(ac+bd)2( a2+b2)(c2+d2),等号当且仅当 ad=bc 时成立.请用自然语言叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明.解:数学语言叙述柯西不等式 :若 a,b,c,dR,则(ac+bd) 2(a 2+b2)(c2+d2),等号当且仅当 ad=bc 时成立.二维形式的证明:(a 2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+2ab
5、cd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd) 2,当且仅当 ad-bc=0,即 ad=bc 时,等号成立.10.已知 为锐角 ,a,b0,求证( a+b)2 .证明:设 m= ,n=(cos,sin),则|a+b|=|mn| m|n|= ,当且仅当 a=kcos2,b=ksin2,kR 时等号成立. (a+b)2 .B 组1.如果实数 m,n,x,y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大值为( )A. B. C. D.解析:由柯西不等式,得(mx+ny) 2( m2+n2)(x2+y2)=ab,
6、当 m=n= ,x=y= 时,mx+ny= .答案:B2.函数 y=3 +4 的最大值为 . 解析: y2=(3 +4 )2(3 2+42)( )2+( )2=25(x-5+6-x)=25,当且仅当 3 =4 ,即 x= 时等号成立. 函数 y 的最大值为 5.答案:53.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则( am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析:根据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd )2,可得(am+bn)(bm+an )=(am+bn)(an+bm)( )2=mn(a+b)2=21=2,当且仅当,即 m=n= 时,
7、取得最小值 2.答案:24.函数 y= 的最大值为 . 解析: y= , y=1 当且仅当 ,即 x= 时等号成立 .答案:5.已知 x2+y2=2,且|x| |y|,求 的最小值.解:令 u=x+y,v=x-y,则 x= ,y= . x2+y2=2, (u+v)2+(u-v)2=8, u2+v2=4.由柯西不等式,得 (u2+v2)4,当且仅当 u2=v2=2,即 x= ,y=0,或 x=0,y= 时, 的最小值是 1.6.(2015 陕西高考)已知关于 x 的不等式|x+a|b 的解集为x|2x4.(1)求实数 a,b 的值;(2)求 的最大值.解:(1)由|x+a|b,得-b-axb-a ,则 解得 a=-3,b=1.(2) =2 =4,当且仅当 ,即 t=1 时等号成立 .故( )max=4.7.已知 x ,试求函数 f(x)=3cos x+4 的最大值,并求出相应的 x 的正弦值.解:设 m=(3,4),n=(cosx, ),则 f(x)=3cosx+4=mn=|mn|m |n|= =5 ,当且仅当 mn 时取等号,此时,3 =4cosx, sinx= . 当 sinx= 时 ,函数 f(x)=3cosx+4 取最大值 5 .
