1、1. 指数函数2. 对数函数3. 乘幂与幂函数4. 三角函数和双曲函数5. 反三角函数与反双曲函数,23 初等函数,23 初等函数,本节将微积分的初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数的定义，研究这些基本初等函数的性质，并说明它的解析性。由此可以得到初等函数的相关性质。,1. 指数函数,指数函数的性质,定义 2.3.1,指数函数的概念,(3) 当I m (z)=0，即z=x R时，,注 此性质表明复指数函数是实指数函数的推广，因此我们可以简记,注 由此性质可得到Euler公式：,例1,例2,例3,周期性质是实变指数函数所没有的。,2. 对数函数,对数的概念,注 由定义知Ln z与 互为反
2、函数。另一方面由 的周期性可知Ln z是多值函数 。,对数的表达式,证明,对数的主值支,对于多值函数，通常的研究方法是将其分支化，引入主值的概念。,对数函数的性质,注 由此性质可知，对数的主值 是实对数的推广。,的各个分支与主值 相差常数2i的整数倍， 因此只须将 的性质弄清楚，就掌握了 的各个 分支的性质。下面仅讨论 的性质。,对于多值函数，复对数函数 保持实对数的某些运算性质：,值得注意的是下列式子并不成立:,3. 乘幂与幂函数,乘幂,定义2.3.3, 多值,一般为多值, q个值,例,解,(2) 当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。,(1) 当b=n(正整数)时，
3、乘幂ab与a 的n次幂意 义一致。,幂函数,定义2.3.4,幂函数的性质,解析性,4. 三角函数和双曲函数,定义2.3.5 定义三角函数如下：,定义双曲函数如下：,正弦与余弦函数的性质,用定义可以验证上述加法定理以及其它三角 恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此 可以得到下列性质。,双曲正弦与双曲余弦函数的性质,双曲函数具有完全类似于三角函数的性质。,正弦函数和余弦函数不再具有有界性。,实双曲函数不具有周期性。,5. 反三角函数和反双曲函数,以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数的研 究方式完全类似。,反余弦函数的概念,定义2.3.6,反余弦函数的表达式,三角函数和双曲函数具有周期性，因此它们 的反函数一定是多值函数。,其它反三角函数和反双曲函数,以上给出了5类基本初等函数。由基本初等函数、 常数经过有限次四则运算和有限次复合运算，由一 个数学式子表示的函数称为初等函数。,初等函数,单值的初等函数在其定义域内连续；多值初等 函数的单值分支在其割支线上有定义但不连续,在 其它有定义点处连续。,初等函数的连续性,练习题,证明,
