1、2/14/2019 4:14:21 AM,第一节 函数与极坐标,一、区间和邻域,二、函数,三、初等函数,四、函数的性质,第一章 函数的极限与连续,五、极坐标,2/14/2019 4:14:21 AM,第一节 函数与极坐标 (function and polar coordinates),一、区间和邻域,1. 区间 是指介于某两个实数之间的 全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,2/14/2019 4:14:21 AM,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无穷区间,2/14/2019 4:14:21 AM,2.邻域:,2/14/2019 4:14:21 AM,二、函数,
2、1.常量与变量:,注意,常量与变量是相对“过程”而言的。,而数值变化的量称为变量。,在某过程中数值保持不变的量称为常量,例1,正在发育成长的球形细胞的体积 V 与半径 r 的关系为：,在这个过程中，V与r是变量，圆周率 是常量。,2/14/2019 4:14:21 AM,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,2/14/2019 4:14:21 AM,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,注意：,2/14/2019 4:14:21 AM,例2. 求下列函数的定义域：,(2) 对数的真数应大于零，于是有 . 对数值大于零
3、时，必有真数大于1. 故函数的定义域为x1.,解 (1) 第一个分式中x0，而 中1x1. 函数定义域为,2/14/2019 4:14:21 AM,例3 下面各式中的函数是否相同( ).,(a) y=lnx(x1)与y =ln x + ln(x1)；,与y =ln(1x) ln x.,解 (a) y=lnx(x1)的定义域中的x应满足x(x1)0，于是有,所以y=lnx(x1)的定义域为,2/14/2019 4:14:21 AM,而y=lnx + ln(x1) 的定义域中的x应满足,所以y=lnx+lnx(x1)的定义域为(1,+).,两个函数定义域不同，因此不是相同的函数.,(b) 的定义域
4、中的x应满足 ，于是有,2/14/2019 4:14:21 AM,所以 的定义域为(0,1).,y=ln(1x)ln x的定义域中的x应满足,两函数有相同的定义域和相同的对应规则，因此是相同的函数.,所以y=ln(1x)lnx的定义域是(0,1).,2/14/2019 4:14:21 AM,分段函数(piecewise function),例4,2/14/2019 4:14:21 AM,例5 符号函数,2/14/2019 4:14:21 AM,例6 取整函数 y=x x表示不超过 x 的最大整数,2/14/2019 4:14:21 AM,1、基本初等函数,1.幂函数,三、初等函数,2/14/2
5、019 4:14:21 AM,2.指数函数,2/14/2019 4:14:21 AM,3.对数函数,指数函数 y = ax 的图形与对数函数 y=logax 的图形是关于直线 y=x 对称.,2/14/2019 4:14:21 AM,4. 三角函数：,正弦函数 y = sin x；余弦函数 y = cos x；,它们的周期为T=2,定义域(,+ ),值域1,1.sin x为奇函数,cos x为偶函数.,2/14/2019 4:14:21 AM,2/14/2019 4:14:21 AM,正切函数 y=tan x；余切函数 y=cot x ； 周期T= , 值域(,+ ).,tan x的定义域为,
6、2/14/2019 4:14:21 AM,正切函数和余切函数都是奇函数.,cot x的定义域为,2/14/2019 4:14:21 AM,5.反三角函数：,函数 Arcsin x 称为反正弦函数，是sin x 的反函数；,函数 Arccos x 称为反余弦函数，是cos x 的反函数；,Arcsin x,Arccos x,2/14/2019 4:14:21 AM,函数 Arccot x 称为反余切函数，是cot x 的反函数；,函数 Arctan x 称为反正切函数，是tan x 的反函数；,四个反三角函数的首字母为大写，它们都是多值函数.,2/14/2019 4:14:21 AM,按下列区间
7、取其一段, 称为主值分支(单值函数), 分别记作：,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和 反三角函数统称为基本初等函数.,2/14/2019 4:14:21 AM,2、反函数,定义3 函数 y = f ( x )确定变量x和y 的关系，,由此关系确定的函数 x = g ( y ) =f -1( y ) 叫做函数 y = f ( x )的反函数， 而 y = f ( x )叫做直接函数。 习惯上常把反函数记为y =f -1(x) ，即,反函数是互为的,且有:f -1f (x) = x , f f -1 (x) = x,f -1(x) = g (x),显然， f -1的定义域为Rf，值域为D。,
8、2/14/2019 4:14:21 AM,直接函数与反函数的图形关于直线 对称。,2/14/2019 4:14:21 AM,3、复合函数,定义:,2/14/2019 4:14:21 AM,例7：将下列复合函数分解为简单函数,2/14/2019 4:14:21 AM,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,4.四则运算,设函数f(x), g(x)的定义域分别为D1, D2 ，记 DD1D2, 且D（为空集），在D上，通过加、减、乘、除四则运算可定义新的的函数。,2/14/2019 4:14:21 AM,由常数和基本初等函数经过有限
9、次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。,5.初等函数,例8,2/14/2019 4:14:21 AM,有界,无界,1有界性:,四、函数的性质,2/14/2019 4:14:21 AM,2单调性:,2/14/2019 4:14:21 AM,2/14/2019 4:14:21 AM,3奇偶性:,偶函数,2/14/2019 4:14:21 AM,奇函数,2/14/2019 4:14:21 AM,4周期性:,2/14/2019 4:14:21 AM,五、极坐标,1、极坐标的概念,在平面上由一定点和一条定轴所组成的坐标系称为极坐标系，其中定点称为极点。,O,r,P
10、(r,),x,坐标系中的点P用有序数 (r,)表示。,图18,其中r 表示点P到极点O的距离， 表示射线OP与极轴正向的夹角。这里r0， 02,2/14/2019 4:14:21 AM,2、直角坐标与极坐标的关系,若取极点为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，可以得到极坐标与直角坐标的关系。,P(r,),或,2/14/2019 4:14:21 AM,例9,在直角坐标系下圆心在原点，半径为a的圆的方程为 x2+y2=a2 .,而在极坐标系下圆心在极点，半径为a的圆的方程为 r = a.,例10,将极坐标方程 r =2cos,化为直角坐标方程，并说明是什么曲线。,解： 方程两边同乘以 r 得 r 2
11、=2rcos,由极坐标与直角坐标的关系有 x2+y2=2x .,即 (x1)2+y2=1 .,它表示圆心为(1，0)，半径为1 的圆。,2/14/2019 4:14:21 AM,几个特殊曲线的极坐标方程,1、心形线（心脏线）,极坐标方程为: r =a(1+cos),直角坐标方程为:,2、双纽线,直角坐标方程为: (x2y2)2=a2 (x2y2),极坐标方程为:,2/14/2019 4:14:21 AM,3、阿基米德螺线,极坐标方程为: r =a,r =2,2/14/2019 4:14:21 AM,一、填空题:,练 习 题,2/14/2019 4:14:21 AM,2/14/2019 4:14:21 AM,练习题答案,2/14/2019 4:14:21 AM,2/14/2019 4:14:21 AM,再见!,谢谢大家,
