1、第一章,函数与极限,第一章,第一节,函数,函数,一个变量与另一个变量之间的对应关系。,一、预备知识,1.集合:,具有某种性质的事物的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,记号：,表示法：,(1)列举法,(2)描述法,2.实数轴：,两点之间的距离：,数轴上的点与全体实数一一对应。,原点、正方向、单位长度.,绝对值不等式:,3.点的邻域,用来描述某一点的附近。,4.平面直角坐标系,平面上任一点与一对有序实数一一对应。,几何曲线,例. 圆、直线与其方程表示.,从而,二、函数概念,邮件的费用依赖于邮件的重量，邮局公布的费用表 可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。,真空中初速为零的自由落体，下落距离
2、s与时间t 的关 系为： ，设这一运动花费T秒钟，则t 0,T。,因变量（输出）,自变量（输入）,图示：,注：对应法则和定义域确定一个函数.,约定: 自然定义域指的是自变量所能取的使对应算式有意义的一切实数值的集合.,多值函数:,注：为了确定性，一般要求函数是单值函数。,多值函数通过限制值域可转化为单值函数。,函数的表示法：,表格法，图形法，公式法（见前例）,即由横坐标与纵坐标满足此函数关系的所有点构成的集合。,在定义域的不同部分对应法则用不同式子表示的函数.,(1) 绝对值函数,注：分段函数并非多个函数。,分段函数：,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,隐函数,注意
3、：隐函数不一定可以化为显函数。,因变量与自变量的函数关系用一个方程表示。,显函数,建立函数关系的例题：,解:,思考：D设在何处才能使总运费最省？,例2. 在半径为R的球内嵌入一圆柱体，试将圆柱的体积表示为其高的函数。,解:,思考：球内接圆柱体的体积何时最大？,1函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,三、描述函数特征的几个概念,偶函数,奇函数,验证奇偶性：,2函数的周期性:,3函数的单调性:,图形：单调增加函数的图形从左到右往上升.单调减少函数的图形从左到右往下降.,证明:,同理可证命题的前半部分。,4函数的有界性,（因变量有界）,（即既有下界也有上界）.,有界，,无界.,有界函数的图形夹在两条水平直
4、线之间。,几何:,四、反函数,反函数的定义域是原来函数的值域.,显然，如果原来的函数是单调的，则其反函数也是单调的.,例1. 自由落体运动.,反过来，已知下落距离s，也可得相应的下落时间t.,已知下落时间 t，可得相应的下落距离 s.,图形表示：,函数与其反函数的图形关于直线 对称.,五、复合函数,图示：,简单函数通过复合运算能构成复杂的函数，,反过来，也可把复杂的函数分解成简单的函数。,注意：一个函数要作为复合函数，必须选择合适的中间变量u，使得y仅仅依赖于u，而u仅仅依赖于x.,基本初等函数,1.幂函数,六、初等函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,(注意：x用弧度表示
5、),余弦函数,很多自然发生的现象都具有周期性，如海浪，交流电，心电图等。这类现象可以用三角函数去表示。,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5.反三角函数,为了保证反正弦函数的单值性，,例:,不是初等函数的形式,为初等函数,不是初等函数,为初等函数,定义：由常数函数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,要点:,点的邻域:,单值函数:,表示一点的附近.,函数的图形:,隐函数:,因变量与自变量的函数关系用一个方程表示.,反函数:,复合函数:,函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性;,分段函数;,第一节,函数,基本初等函数种类:,初等函数的定义：,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.,基本初等函数的定义域、值域及图形.,由常数函数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,
