1、第六章 一般年金与保险函数,本章内容,第一节 每年支付m次的生命年金 第二节 递增寿险与年金 第三节 死亡时立即给付的生命保险与连续支付的生命年金,每年支付m次的生命年金 概念,对于一份一年中支付次的生命年金，每年的次把一年分成了个间隔，在每个间隔初支付的年金，我们称为期初支付，在每个间隔末支付的年金，我们称为期末支付。例如，每月月末支付的生命年金称为每年支付12次的期末支付的生命年金。,每年支付m次的生命年金 预期现值,终身生命年金 = 定期生命年金 =,递增寿险概念,递增终生寿险 ：目前年龄为的人的一个终身寿险 ，死亡年末支付保险给付 ，每年保险金递增额为1。 递增定期寿险 ：可以按上述同
2、样方式定义定期年递增保险，即在岁以后死亡，则无保险给付。 递增两全寿险 ：年龄为的人，如果在第年（1，2，）死亡，则在该年末支付元保险金；如果生存至期满（第年末），则在期满时支付元保险金。,递增寿险预期现值,递增终生寿险= = 递增定期寿险= = 递增两全寿险= +,递增年金 概念,递增的终身年金 ：我们现考虑期初支付的递增年金。对于一个年龄为x岁的人，在其未来生存期间的第j年初（1，2，）支付金额为j 递增定期年金 :在n年中每年年初支付的定期递增年金可按同样方式定义，只是支付将在至多年后停止。,递增年金 预期现值,递增的终身年金 = 递增定期年金 = =,递增保险与递增年金的关系,终身递增
3、保险与终身递增年金 = 定期递增寿险与定期递增年金=,支付额按几何级数增长的保险或年金,例如：一个终身寿险合同，年龄为的人在死亡年末得到保险给付。给付在零时刻为1，每年以公比为1+b的等比数列的节奏递增，或者说，以利率为b的复利增长水平增长。 相当于新利率j下的单位递增年金，其中,死亡时立即给付的生命保险-概念,死亡保险金在死后的很短时间内给付，只要索赔单证的有效性得以证明。因此，假设延至死亡年末给付就显得不够谨慎了，而假设死亡后立即支付保险金才是谨慎的态度。,死亡时立即给付的生命保险预期现值,终身寿险 定期寿险 = 定期两全保险=,几个近似算法,近似一：将一年中死亡发生时间看作是服从均匀分布
4、 近似二：把终身或定期寿险当作一年期延期定期寿险 的加总 ,连续支付的生命年金 概念,前面我们探讨了死亡时刻立即支付的生命保险，相应地，连与而非每隔一时段支付一次的年金，也是在实际工作中起重要作用的函数。当然，这在实践中并不存在，但若支付十分频繁，如每周或每天，这一假设也是合理的。,连续支付的生命年金 预期现值,连续支付的终身年金 连续支付的定期年金 =,死亡时立即支付的生命保险与连续支付的生命年金之间的关系,终身寿险= 定期寿险=,死亡时刻立即给付的递增生命保险,死亡时刻立即给付的递增终身寿险的连续递增形式 :对于目前年龄为岁的人，在其死亡时立即给付 元。换言之，保险金额以每年递增1元的速度线形增长。 连续递增形式的定期寿险及两全保险 死亡时刻立即给付的递增生命保险的跳跃递增形式 ：保险金额在死亡时刻给付，但不是连续增长，而是在每年末增长一个单位。,连续支付的递增生命年金,连续递增的终身生命年金 ：指一个年龄为x岁的人，在其生存期间以连续递增的方式支付年金。 跳跃递增的连续生命年金 :增长情况为每年末增长1元 。,
