1、3. 三次函數的圖形的分類。,1. 三次函數的圖形恰有一個反曲點。,5. 範例：由已知圖形判別各係數的正負。,4. 求過(1,0)，(1,2)且與 x 軸相切於原點的三次函數 f(x)。,6. 三次方程式的實根個數。,9. 範例：方程式x3+3x2+9x+k=0僅有一實根，求 k 的範圍。,10. 範例：方程式x36x2+9x+k=0有兩相異實根，求 k 的範圍。,7. 範例：求方程式 x33x+1=0 的實根個數。,8. 範例：方程式 x33x2+k=0 有三相異實根，求 k 的範圍。,11. 範例：x33x+a=0有相異兩正根、一負根，求 a 的範圍。,2. 反曲點為三次函數圖形的對稱中心
2、。,八、三次函數的圖形,點擊數字(111)選取觀看內容，或空白處按右鍵選結束放映可回乙、微分,設實係數三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，,1. 三次函數的圖形恰有一個反曲點,反曲點,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,To be continued,+,0,凹向下,凹向上,(1) a 0,x,f (x),反曲點,0,+,凹向上,凹向下,(2) a 0,x,f (x),反曲點,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,2. 反曲點為三次函數圖形的對稱中心,反曲點 (1,2 ),例：若 f(x)=x33x2，,設 P(x0 , y0) 為 y=f(x)圖
3、形上任一點，,得反曲點為(1, f(1) )=(1,2 ),則 P 關於反曲點的對稱點為 Q(2x0 ,4y0), f(2x0)=(2x0)33(2x0)2, f(2x0)= x03+3x024,= 4y0 y0=x033x02, 對稱點 Q 也在 y=f(x) 圖形上。,P(x0 , y0),Q(2x0 ,4y0),故反曲點為三次函數圖形的對稱中心。,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,設實係數三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，,(1) b23ac0,(2) b23ac=0,(3) b23ac0,3. 三次函數的圖形的分類,還有 3 頁,空白處按右鍵選
4、結束放映可回八、三次函數的圖形, f (x)=0 有兩相異實根, 兩條水平切線。, f (x)=0 有相等兩實根, 恰一條水平切線。, f (x)=0 沒有實根, 沒有水平切線。,反曲點, a 0 (圖形最右方上揚), a 0 (圖形最右方下降),反曲點,(1) 當 b2 3ac 0，,(, f(),(, f(),(, f(),(, f(),即反曲點為兩水平切線處中點。,則 f (x)=0 有兩相異實根(令其為、 ),還有 2 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形, a 0(圖形最右方上揚), a 0(圖形最右方下降),(2) 當 b2 3ac = 0，,圖形恰有一條水平切線，且通
5、過反曲點。,反曲點,反曲點,則 f (x)=0 有兩相等實根 ( 令= )，,To be continued,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形, a 0(圖形最右方上揚), a 0(圖形最右方下降),(3) 當 b2 3ac 0，,反曲點,反曲點,則 f (x)=0 沒有實根(即沒有水平切線)，,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,4. 範例 已知三次函數 f(x) 的圖形通過點(1,0)，(1,2)，,且與 x 軸相切於原點，圖形如下所示，求函數 f(x)。,x,O,y,(1,0),(1,2),解：設 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，, 所求 f(
6、x)=x3x2 。,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,5. 範例 右下圖為三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形，,選出正確的選項：,(1) a0 (2) b0 (3) c0 (4) d0 (5) b23ac0。,x,O,y,(1) 圖形最右方為上揚 a0。,(4) f(0)=d 0。,反曲點,(0,d),(5) 有兩條水平切線 b23ac0。,故正確選項為 (1) (4) (5)。,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,設實係數三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d，,(1) b23ac0 (兩條水平切線),(2) b2
7、3ac=0 (恰一條水平切線),(3) b23ac0 (沒有水平切線),二實根(其一為二重根)。,三相異實根。,一實根二虛根。,一實根(三重根)。,一實根二虛根。, 一實根二虛根。,6. 三次方程式的實根個數,則三次方程式 f(x)=0 的根，可分三大類如下：,還有 6 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,(1) b23ac 0 且 a 0,f()f()0,三相異實根,f()f()=0,二相異實根 其一為二重根,x,一實根二虛根,x,x,f()f()0,x,x,還有 5 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,f()f()0,三相異實根,f()f()=0,二相異實根 其
8、一為二重根,x,一實根二虛根,x,x,f()f()0,x,x,(1) b23ac 0 且 a 0,還有 4 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,x,一實根二虛根,反曲點,x,反曲點,x,反曲點,一實根二虛根,(2) b23ac = 0 且 a 0,還有 3 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,x,一實根二虛根,反曲點,x,反曲點,x,反曲點,一實根二虛根,(2) b23ac = 0 且 a 0,還有 2 頁,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,x,一實根二虛根,反曲點,x,x,一實根二虛根,一實根二虛根,反曲點,反曲點,(3) b23ac 0,To be
9、continued,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,x,一實根二虛根,反曲點,x,x,一實根二虛根,一實根二虛根,反曲點,反曲點,(3) b23ac 0 且 a 0,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,7. 範例 求方程式 x33x+1=0 的實根個數。,(1,3),(0,1),(1,1),f (x),x,f(x),增減,1,1,0,+,0,+,1,1,3,函數圖形與 x 軸有 3 個交點，所以方程式有 3 個實根。,0,x,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,8. 範例 已知方程式 x33x2+k=0 有三相異實根，,求實數
10、k 的範圍。,(0, f(0),(2, f(2),y=x33x2+k,x,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,有三相異實根，,9. 範例 已知方程式 x3+3x2+9x+k=0 僅有一實根，,求實數 k 的範圍。,(1, f(1),y=x33x29xk,解： x3+3x2+9x+k=0 x33x29xk=0,有兩條水平切線且恰有一實根,x,(3, f(3),The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,10. 範例 已知方程式 x36x2+9x+k=0 有兩相異實根，,求實數 k 的範圍。,(1, f(1),(3, f(3),y=x36x2+9x+k,x,解： x36x2+9x+k=0 令 f(x)=x36x2+9x+k,有兩條水平切線且恰兩相異實根,The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,11. 範例 若方程式 x33x+a=0 有相異兩正根、一負根時，,求 a 的範圍為何,(1, 2),(1,2),y=x33x,y= a,方程式有相異兩正根一負根時,由圖形知：2 a 0 0 a 2 。,(0,0),The end,空白處按右鍵選結束放映可回八、三次函數的圖形,
