1、常用函数,矩形函数 Sinc函数 阶跃函数 符号函数 三角形函数 高斯函数 圆域函数 函数 梳状函数,1矩形函数一维 又称门函数，记为rect(x)或(x),其定义如下：,由图形可以看出，矩形函数曲线下面积为1，即：,矩形函数的一般定义为,函数图像如下图所示,1矩形函数一维,矩形函数二维定义式为：,在光学问题中，常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。,可分离变量函数,光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为门函数。,如,表示一个只出现在区间,应用： 单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.,x0,a,x
2、,0,y,2 sinc函数,一维 sinc函数的定义为,式中a0,函数在x=x0处有最大值1。,对于x0=0,该函数在原点处有最大值1.二个第一级零值之间的宽度为2a,函数图像如图所示。,零点位于,二 维 sinc函数的定义为,应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布,注意归一化和非归一化的两种表达方法。,强度分布为sinc函数平方,3 阶跃函数 定义：,标准型：,阶跃函数应用:,光学直边或刀口的透过率,4 符号函数 定义：应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。,标准型：,5 三角函数tri(x)或(x)。定义：应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。,注意：函
3、数形状非真三角形。,标准型：,15,二维三角形函数 标准形式的二维三角形函数的定义为：,6 高斯函数 定义：,特点： 1）函数分布在整个区域连续、可导。 2）光滑、中心强边缘弱。 3）其傅里叶变换还是高斯函数。,a0.当x0=0时，函数在原点处有最大值1。 高斯图形中曲线下的面积为a.,式中,二维高斯函数的形式,曲面下的体积为ab,应用：,1）是激光的常见模式：基膜高斯分布。,2）光信息处理中的“切趾术”，实质：软边光栏。,7 圆域函数,圆域函数的定义为,函数图形呈圆柱形，底半径为a，高度为1。,极坐标下的形式为,7 圆域函数应用 应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数.,8 函数 定义：,空间
4、函数,二维函数,物理意义：,描述脉冲状态这样一类物理量，函数表示某种极限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。,焦点处光能描述,点电荷处电场描述,函数的函数序列定义式：,函数序列表达式的意义是在实际操作中可以将 函数具体化，便于处理。, /A还是 函数！,几种表示 函数的函数序列及其极限形式,函数性质,筛选性质 可分离变量性质 坐标缩放性质 与普通函数乘积性质 卷积性质,1) 筛选特性：对任一连续函数 (x), 有：,物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的线性组合, 很有现实意义。,应用：信息处理中函数取点。,2) 可分离变量特性：,直角坐标
5、系里，有,极坐标系里，有,什么是可分离变量？,这里,同时,？,3 ) 坐标缩放：推论： 偶函数,4) 乘积特性,推论：,当xx0, 由于 (xx0)=0, 所以等式成立。 当x=x0, f (x)=f (x0), 等式显然成立。,5) 卷积性质,1）任一函数与函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。 2）任一函数与函数的（k, l）次微分的卷积是该函数经过在坐标上平移x0, y0后的微分。,9 梳状函数（comb function）定义：,* 各个梳之间等间距； * 每个梳具有 函数性质。,二维梳状函数的图形是什么？试说明。,二维：,梳状函数与普通函数的乘积：,应用：重复取样、描述时间上重复出现的光电脉冲、空间上等间距排列的点或线光源。,常用函数变型,常用函数变型（例）,解1： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、压缩、平移,解2： 根据已知条件有,例题：f(x)=rect(x)，将该函数压缩2倍，然后向左平移3，并以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。,
