1、第三章 概 率(B)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件) 中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少 1 件次品和全是正品A B C D2平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A. B. C. D.14 13 12 233某班有 50 名学生
2、，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大( )A异性 B同性C同样大 D无法确定4在区间 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( ) 2，2 12A. B. C. D.13 2 12 235已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产
3、生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A0.35 B0.25 C0.20 D0.15612 本相同的书中，有 10 本语文书，2 本英语书，从中任意抽取 3 本的必然事件是( )A3 本都是语文书 B至少有一本是英语书C3 本都是英语书 D至少有一本是语文书7某人射击 4 枪，命中 3 枪，3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是( )A. B. C. D.34 14 13 128从数字 1,2,3,4,5
4、 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概率为( )A. B.15 25C. D.35 459已知集合 A9，7，5，3，1,0,2,4,6,8，从集合 A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A 点落在 x 轴上与事件 B点落在 y 轴上的概率关系为 ( )AP(A)P(B) BP(A)25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果即 .2136 71212A 可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4416(种)，而总的情况有6636(种) ，于是由古典概型概率公式，得 P .1636 4913.233解析 因为球半径为 a，则正方体的对
5、角线长为 2a，设正方体的边长为 x，则2a x，x ，由几何概型知，所求的概率 P .32a3 V正 方 体V球 x343a3 23314. 16解析 如图所示，区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P .1244 1615.12解析 记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A) .1222 1216.23解析 由
6、题意可知 ，如图所示，三棱锥 SABC 与三棱锥 SAPC 的高相VS APCVS ABC13同，因此 (PM，BN 为其高线)，又 ，故 ，VS APCVS ABC S APCS ABC PMBN13 PMBN APAB APAB13故所求概率为 (长度之比)2317解 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为N5525(个)函数有零点的条件为 a 24b0，即 a24b.因为事件“a 24b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0) ，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2) ，(4,0)，(4,1) ，(4,2)，(4,3)，(4,4) ，共 12 个
7、所以事件“a 24b”的概率为 P .122518解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件则 P(A)0.025，P(B)P(C)0.1，设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有DABC ，其中 A、B 、C 是互斥事件，P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.19解 如下图所示，作 OCOA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半圆弧于 E、F，所以在 上取一点 B，判断 SAOB .EF14连结 OE、OF ，因为 OD OC OF，12 12OCEF，所以 DOF 60，所以EOF120，所以 l 1 .EF1
8、20180 23所以 P .lEF1 23 2320解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况( 方片 4 用 4表示，其他用相应的数字表示)为(2,3) ，(2,4)，(2,4) ，(3,2)，(3,4)，(3,4 )，(4,2)，(4,3) ，(4,4)，(4 ，2)，(4，3)，(4 ，4)，共 12 种不同情况(2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为 .23(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2) ，(4,3) ，(4，2)，(4，3) ，共5 种，故甲胜的概率 P1 ，同理乙胜的概率 P2 .因为 P1
9、P 2，所以此游戏公平512 51221解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，
10、(A 3，B 3，C 2)，共 18 个基本事件由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“A 1 恰被选中”这一事件，则M(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A1，B 3，C 2)，事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M) .618 13(2)用 N 表示“ B1、C 1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B 1、C 1 全被选中”N这一事件，由于 (A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，事
11、件 由 3 个基N N本事件组成，所以 P( ) ，由对立事件的概率公式得：N318 16P(N)1P( )1 .N16 5622解 由于实数对(a，b)的所有取值为： (2，2)，(2，1)，(2,1) ，(2,2)，(1，2) ，(1，1)，(1,1)，( 1,2)，(1 ，2)，(1，1) ，(1,1)，(1,2)，(2，2)，(2 ，1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种设“直线 yaxb 不经过第四象限”为事件 A， “直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点”为事件 B.(1)若直线 yaxb 不经过第四象限，则必须满足Error!即满足条件的实数对 (a，b)有(1,1)
12、，(1,2)，(2,1) ，(2,2)，共 4 种P(A) .416 14故直线 yaxb 不经过第四象限的概率为 .14(2)若直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点，则必须满足 1，即 b2a 21.|b|a2 1若 a2，则 b2，1,1,2 符合要求，此时实数对(a ，b)有 4 种不同取值；若 a1，则 b1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值；若 a1，则 b1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值，若 a2，则 b2，1,1,2 符合要求，此时实数对(a， b)有 4 种不同取值满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值P(B) .1216 34故直线 yaxb 与圆 x2y 21 有公共点的概率为 .34
