1、1.2 任意角的三角函数,1.2.1 任意角的三角函数,1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,M,O,y,x,P(a,b),1.锐角三角函数（在单位圆中）,2.任意角的三角函数定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。,所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我
2、们将他们称为三角函数.,使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.,说 明,任意角的三角函数的定义过程：,例1.求 的正弦、余弦和正切值.,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：若把角 改为 呢?,P15.1,根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?,例2.已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、 作 轴的垂线 、,于是，,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 .,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,
3、定义推广：,于是，,练习: 1.已知角 的终边过点 ，求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,P15.2,R,R,口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,y,x,o,+,-,+,-,全为+,记法：,一全正,二正弦,三正切,四余弦,三个三角函数在各象限的符号,心得:角定象限,象限定符号.,例3. 求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角.反之也对,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.
4、于是角 为第三象限角.,反过来请同学们自己证明.,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 角的三角函数值 .,？,例题,（1）因为 是第三象限角，所以 ；,（3）因为 =而 是第一象限角，所以,解：,（2）因为 是第四象限角，所以,解：,6.已知 在第二象限, 试确定 sin(cos)cos(sin) 的符号.,解: 在第二象限,-1cos0, 0sin1.,sin(cos)0.,sin(cos)cos(sin)0.,故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.,1. 内容总结：,三角函数的概念.
5、 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 诱导公式一.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,2 .方法总结：,3 .体现的数学思想：,下面我们再从图形角度认识一下三角函数,思考: 为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？,我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).,M,P,的终边,=,MP,这几条与单位圆有关的有向线段 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线统称为 三角函数线.,当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点；,当角 的终边在 轴上时，余弦线变成
6、一个点，正切线不存在,MP是正弦线,OM是余弦线,AT是正切线,M,P,A,T,例 题 示 范,例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（1） ；（2） ,例1.在0 内，求使 成立的的取值范围.,例利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.,30150,解:,3090或210270,P,M,A,T,A,B,o,S2 S1,P2,P1,M1,例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解： 如图可知：,M2,A,B,o,T2,T1,S2 S1,例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解： 如图可知：,例5.求函数 的定义域.,练习,1.（2009全国） 的值为( ),A.,B.,C.,D.,A,解析：,本题主要考察诱导公式：,2.（2009陕西） 则 的值为（ ）,A. 0,B.,C. 1,D.,B,解析：,本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因 故选B。,3. (2007江西)若 ， 则 等于（ ）,A. -3,B.,C. 3,D.,D,小 结,1.2三角函数线的定义，会画任意角的三角函数线； 3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.,
