1、几个常见函数的导数 制作人：徐凯精讲部分：年级：高三 科目：数学 类型：同步 难易程度：易 建议用时：20-25min一.知识点：知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数f(x)c f(x) 0f(x)x f(x) 1f(x) x2 f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x) xf( x)12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c(c 为常数 ) f(x )0f(x)x (Q *) f(x) x 1f(x)sin x f(x) cos_ xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_a(a0)f(x)e x f(x )e xf(x)log
2、 ax f(x) (a0 且 a1)1xln af(x)ln x f(x )1x二.典例分析：题型一 利用导数公式求出函数的导数例 1 求下列函数的导数：(1)ysin ；(2)y5 x；(3) y ；(4)y ；(5)ylog 3x；(6) y12sin 2 .3 1x3 4x3 x解 (1)y0；(2) y(5 x)5 xln 5；(3)y (x 3 )3x 4 ；(1x3)(4)y( ) (x ) ；(5) y(log 3x) ；4x334 14344x 1xln 3(6)y12sin 2 cos x，y (cos x)sin x .x反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒
3、等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导题型二 利用导数公式解决切线有关问题例 2 (1)已知 P，Q 为抛物线 y x2 上两点，点 P，Q 横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分12别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的坐标为_答案 (1，4)解析 yx，k PAy| x4 4，k QAy| x2 2.P(4,8) ，Q( 2,2)，PA 的直线方程为 y84(x4) ，即 y4x8，QA 的直线方程为 y22( x2) ，即 y2x2，联立方程组 Error!得Error! A(1，4)(2)已知两条曲线 ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公
4、共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为 k1y| cos x0，k 2y| sin x0，0x0x要使两切线垂直，必须 k1k2cos x 0(sin x 0)1，即 sin 2x02，这是不可能的两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解2求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤题型
5、三 利用导数公式求最值问题例 3 求抛物线 yx 2 上的点到直线 xy20 的最短距离解 设切点坐标为(x 0，x )，依题意知与直线 xy20 平行的抛物线 yx 2 的切线的切点20到直线 xy20 的距离最短y(x 2) 2x，2x 01，x 0 ，切点坐标为( ， )，12 12 14所求的最短距离 d .|12 14 2|2 728反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算三.课堂小结：1利用
6、常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin 2 的导数因为 y12sin 2 cos x，所以 y(cos x)sin x.x2 x3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化精练部分：年级：高三 科目：数学 类型:同步 难易程度：易 建议用时：随堂练习 10-15min 课后作业30min四.随堂练习：一、选择题1下列各式中正确的个数是( )(x 7)7x 6； ( x1 )x 2 ；( ) x ；( ) x ；(cos x)1
7、x 12 32 5x2 25 35sin x；(cos 2)sin 2.A3 B4 C5 D6答案 B2已知过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为( )1xA. B. 或 C. D.(12，2) (12，2) ( 12， 2) ( 12， 2) (12， 2)答案 B解析 y 4，x ，故选 B.(1x) 1x2 123已知 f(x)x a，若 f( 1)4，则 a 的值等于( )A4 B4 C 5 D5答案 A解析 f(x) ax a1 ，f( 1)a( 1) a1 4，a4.4已知曲线 yx 3 在点(2,8)处的切线方程为 ykxb，则 kb 等于( )A4 B4
8、C28 D28答案 C解析 点(2,8)在切线上，2kb8，又 y| x2 32 212k，由可得：k12，b16，kb28.5已知 f(x) ，g(x)mx，且 g(2) ，则 m_.1x 1f 2答案 4解析 f(x) ，g( x) m.g(2) ，m 4.1x2 1f 26设曲线 ye x在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为1x_答案 (1,1)5. 课后作业：1若 f(x)sin x ，f( ) ，则下列 的值中满足条件的是( )12A. B. C. D.3 6 23 56答案 A解析 f(x)cos x，f ()cos ，12 时，cos
9、 ，故选 A.3 122若曲线 yx 4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为( )A4xy30 Bx4y50C4x y30 Dx4y30答案 A解析 设切点(x 0，y 0)，l 的斜率 ky|x x 04x 4，x 01，30切点(1,1)，l 的方程为 y14(x1)，即 4xy30.3已知直线 ykx 是曲线 y ex的切线，则实数 k 的值为( )A. B Ce De1e 1e答案 D解析 ye x，设切点为(x 0，y 0)，则Error!ex 0ex 0x0，x 01，ke.4曲线 yx 33x 26x10 的切线中，斜率最小的切线的方程为_答案 3xy11
10、0解析 y3x 26x 63(x 22x2) 3(x1) 233，当 x1 时，斜率最小，切点为(1，14) ，切线方程为 y143( x1)，即 3xy110.5若曲线 yx 在点(a，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则12 12a_.答案 64解析 yx ，y x ，12 12 32曲线在点(a，a )处的切线斜率 k a ，12 12 32切线方程为 ya a (xa)12 12 32令 x0 得 y a ；令 y 0 得 x3a.32 12该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S 3a a a 18，a64.12 32 12 94126已知 A、B 、C 三点在曲线
11、 y 上，其横坐标依次为 1、m 、4(1m4)，当ABC 的面x积最大时，m 的值等于_ 答案 94解析 如图，在ABC 中，边 AC 是确定的，要使ABC 的面积最大，则点 B 到直线 AC的距离应最大，可以将直线 AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过 B 点的切线平行于直线 AC 时，ABC 的面积最大f(m) ，A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)，12mk AC ， ，m .2 14 1 13 12m 13 947已知曲线 f(x)x 33x ，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率 kf ( x0)3x 3，切线方程为 y(3x 3) x16，20 20又切点(x 0，y 0)在切线上，y 03(x 1) x016，20即 x 3x 03(x 1)x 016，解得 x02，切线方程为 9xy160.30 20
