1、函数与导数交汇处命题的十种类型侯立刚【专题名称】中学数学教与学（高中读本）【专 题 号】G35【复印期号】2009 年 05期【原文出处】理科考试研究(哈尔滨)2009 年 1期第 1215 页【作者简介】侯立刚，安徽灵璧中学(234200)。函数和导数都是高中数学的主干知识，导数是研究函数的重要工具，同时导数及其性质的应用也离不开函数的支撑。因此，以函数为载体、导数为工具，在函数与导数交汇处命题，始终是高考的热点。本文借助近年来的高考试题，分析依托导数研究函数性质的十大知识点。限于篇幅，题目的解答过程从略，读者可参考各试题汇编。一、单调性体现在两个方面：当 0a1 的，f(x)极小值为 f(
2、0)=-2，此时 f(x)无极大值；当 a-2 或-1a0 或 al 时，f(x)既无极大值又无极小值。三、最值闭区间上的连续函数一定有最值。若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求出 f(x)在(a，b)内的极值并与 f(a)、f(b)比较，可得函数 f(x)在a，b上的最值。题 4 （2008 浙江）已知 a是实数，函数 。（）求函数 f(x)的单调区间；（）设 g(a)为 f(x)在区间0，2上的最小值，（）写出 g(a)的表达式；（）求 a的取值范围，使得-6g(a)-2。答案 （）略。（）x-20九、函数应用函数应用问题往往根据建立的数学模型，用导数求函数的最值。题 1
3、4 （2008 江苏）如图 1，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A、B 及 CD的中点 P处，已知 AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点 O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、PO，记排污管道的总长为 y km。图 1（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将 y表示成 的函数关系式；设 OP=x(km)，将 y表示成 x的函数关系式。（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。（）当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B 两点的距离均为 时
4、，铺设的203km排污管道的总长度最短。题 15 （2008 湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用 t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t的近似函数关系式为(1)该水库的蓄水量小于 50的时期称为枯水期。以 i-1ti 表示第 i月份(i=1，2，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7计算）。答案 （）枯水期为 1月，2 月，3 月，4 月，11 月，12 月共 6个月。（）最大蓄水量是 108.32亿立方米。十、数列数列是特殊的函数，若函数 f(x)在1，+）上是单调的，则数列f(n)在 nN*上也具有相同的单调性。
