1、1函数的单侧导数与导函数的左右极限摘要：本文通过例子讨论函数的单侧导数与导函数的单侧极限的区别，给出相应的结论，并引用一个重要的定理导数极限定理介绍了两者的关系，在此定理的 证明过程中简单的解释了用罗比达法则求极限时失效的原因，并在此基础上，以定理的形式给出了函数的单侧导数与 导函数的单侧极限相等的充分条件。关键词：右(左) 导数 导数的右（左）极限 关系 区别 Unilateral Derivate of Function and the Unilateral Limit of Derived FunctionAbstract: This paper discussed the differ
2、ences between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation why LHospital loses its val
3、ue on solving the problem of the limit of function in the process of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Function R
4、elationship Difference0. 引言 在很多实际问题中，人们不仅要研究变量的变化规律，而且要研究变量变化的快慢程度。如研究物体运动的速度、研究工农业总产值的增长速度等等。导数正是研究变量变化快慢的有效工具。导数反应了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率。它使得人们能够使用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的问题，所以在各领域有着极其广泛的应用。为了更好的应用导数去解决实际问题，我们需要进一步的研究导数的一些性质和特点，而单侧导数和导数的单侧极限是研究导数的一个重要方面。单侧导数和导数的单侧极限是微积分中两个重要的概念，在求分段函数的导数、函数在端点
5、处的导数、傅里叶级数中都有其广泛的应用。本文就来讨论一下单侧导数2与导数的单侧极限的区别与联系，并介绍分段函数的导数、函数在端点处的导数的一种求解方法。文中引用了相关的参考文献，其中文献1、2介绍了单侧导数与导函数的单侧极限的定义，3-6介绍了两者的区别与联系及相等的充分条件，7 -10介绍了分段函数的导数、函数在端点处的导数的求解方法，并举例运用了此方法。1. 单侧导数与导函数的单侧极限的定义定义 1 ：由于 ，由极限存在的定义，函数 在 xffxf)(lim)(0 )(xf处可导的充分必要条件是相应的左右极限 和x xfxf)(lim0存在且相等，我们把他们分别称为 在 处的左xfffx
6、)(li)(0 fx导数和右导数。定义 2 ：符号 表示函数 在点 处导函数的右（左） 0)(0ff xf0极限，即 .xfxfx0lim0 fx0lim02. 单侧导数与导函数的单侧极限的区别函数的单侧导数与导函数的单侧极限是两个完全不同的概念，微积分的初学者往往认为 因此 0lim)(0lim)( 00 00 xffxffxfxf x在求分段函数在分段点处的导数、傅里叶级数或函数在区间端点处的导数时往往不能得到正确的结果，在一般的情况下，两者并没有必然的联系（方便起见下面以函数的右导数与导函数的右极限为代表说明） 。我们知道，如果函数 在点 处可导，则 在点 处的右导数)(xf0)(xf0
7、肯定存在。这一点是毫无疑问的，而函数 在点 处的导函数的右极)(0xf限 存在，则说明函数 在点 处的某右邻域（ ）内的每一 )(xf0 0,x点都可导，但需要注意的是函数 在点 处却未必可导。这一个小小的细节往往被一些学生甚至资历较高的老师所忽视。我们先看一个例题。 3例 1 设函数 ，判断 在 是否可导。012)()xxf )(xf0错误解法：当 时，0)(f当 时，x1x当 时，1)(lim)(li)(00xffxx即 故.1)(0ff 1)(f正确： 12lim2)lim)0(lim)( 000 xxxfff xxx但是 不存在ff xxx 1li1)(li)(li 000故 不存在，
8、即 在 处不可导。)ff从这个例题中可以看出， 与 并没有必然的联系。为了更深)(0f)(0f入的探讨两者之间的关系，我们来看几个具体的例子，从这些例题中摸索其中的内涵。 例 2 设函数 求 与.0,2)(xxf )(f).0f解：当 时，01f故 )(lim)(0xfx而 不存在xf2li0故 不存在，)(f 1)(f例 3 设函数 00sin)(2xxf4解：当 时，0xxxf1cosin2)(故 不存在)(lmli)(00f xx 而 f)(01sinl1sinl020 xxxx因此 不存在，)(f )(f例 4 设函数 01)(xefx解： eff xx 1lim)(li)0( 0 x
9、xx ee00li1li1lim0xx1limli)(li)( 000 xxx eeff故 在 处不可导。f又 0)(xexf故 1)(lim0ffx所以 ，但 在 处不可导。)( )(xf0例 5 设函数 0)(21xexf5解：当 时，0x213)(xef故 2213401300 6limli)(lim)( xxxx eeff 02li3li213010xxxee而 2210100 limli)(lim)( xxx eff 2li1li21030 xxxee同理 ，故 在 处可导。)(f)(f所以 ，且 在 处可导。00)(xf0由上面 5 个例子 ，我们很容易发现，函数的右导数与函数的导
10、函数的右极限没有必然的联系，即 与 可能一个存在，另一个不存在，)0(xf)(0xf如上面的例 2 和例 3;也可能两者都存在但不相等，如例 4;也可能两者都存在且相等如例 5.3 单侧导数与导函数的单侧极限的联系对于例 5 中这样的题目，有些读者不加验证误把 与 认为相)0(f)f等的计算方法也能奏效，但前提是函数必须满足一些特定的条件。下面我们来看一个重要的定理，这个定理和其证明过程表现了单侧导数与导函数的单侧极限的联系，即求单侧导数的导数极限法。6定理 1 : 设函数 在点 的某邻域 内连续，在 内可导，且极3 )(xf0)(0xU)(0x限 存在，则 在点 处可导，且)(lim0xfx
11、 lim0ffx证明：分别按左右导数来证明上式。（1） 在 上满足拉格朗日定理的条件，)(,0xfU,0则 (*)(.,0ffts由于 故当 时， ,0xx.0x对上式两边同时取极限，得)()lim)(li)( 000 00 xffxfxf xx ( 2 ) 同理可得 )()(ff由于 存在，故lim0xx)(00xfx 因此 )()(0ff即 存在，且0 )(lim0xfx本定理阐明了函数在某点的导数与其导函数在该点处的极限的关系，对于一般的函数而言，若在某点处极限存在时，并不能保证它在该点是连续的，而导函数则具有这个特点，即只要导函数的极限存在，那么其导函数就一定是连续的。在此定理的证明过
12、程中，需要我们特别注意的是，当 不)(lim0xfx存在时，并不能由此判定 不存在，因为当 不存在时，)(0xf )(li0fx有可能存在，这是因为，对于某些特殊的函数而言， （*）式中的)(lim0fx可能有一个，也可能有很多个，当 连续的变化而从右侧逼近 时，对应的x0x并不一定能够连续的变化，例如 可能构成一个以 为极限的数列 ，并0xn且其对应的导数值数列 可能会有极限，而 。所以)(nf )(lim)(li0nxff可能存在。例中如例 2 中的函数就是符合上述情况的一个例子，对)(lim0fx7于其中具体的细节这里就不讨论了。大家很容易发现，当用罗比达法则求一些函数的极限时有时会失效
13、，其中的原因就与上述所讨论的情况类似。我们知道在罗比达法则的证明过程有等式 （ 在 与)()(gfaxgff x之间） 故a)(lim)(ligfxfaa同理 当 不存在时， 有可能存在，所以 可能存在，)(ligfax)(lifax )(limxgfa但我们需要用别的方法求解了 。4定理 1 说明了函数的导数与函数的导函数的极限的联系，若函数的导函数在一点 处存在极限，则该函数的导函数在点 处必连续。在此定理的证0x 0x明过程中我们得到了函数的单侧导数与导函数的单侧极限相等的结论，并成功的运用了此结论，对于例 5 中的函数，此结论也成立，那么，函数的单侧导数与函数的导函数的左右极限到底有什
14、么样的联系，在什么样的情况下可以相等呢?4 函数的单侧导数与函数的导函数的左右极限相等的充分条件定理 2 ：若函数 在闭区间 上连续，在开区间5 )(xf),(,00xx（ ）内可导，且 ，则函数 在点 处0,x0,lf )(xf0右（左）可导，且 （ ） 。lxf)(lxf)(0证明同定理 1 类似。需要注意的是定理 2 的条件是充分的，不是必要的。如例 3 中的函数 001sin)(xxf由于 故silmli00fxx )(f即 在 处可导。)(f8而 001cosin2)(xxf但 不存在)1cosin2(lim)(li)(00 xff xx 所以定理 2 的条件是充分的，不是必要的。推
15、论 ：设函数 在 上连续，在 内存在有限的导数 ，若6 )(fba, ),(ba)(xf其导函数 在 点存在右极限（有限） ，即 （ 为有限数）记)(xf Axfxlim为 ，则 在 点存在右导数 ，且 ，对于 点0af )(f )(li)(xfaxb左侧有类似的结论。分段函数在分段点处的导数、函数在区间端点处的导数我们一般都是用导数的定义去求，但这种方法计算繁杂，容易出错，如果所给的函数满足定理 2及其推论的条件，我们利用导数的极限法去求解题目就简单的多了。下面我们来看几个例子。例 6 设函数 在 处可导，求 、 的值。2)(3xbaxf ab解：由 在 处可导，故 在 处连续f2)(f故
16、xx(lim)(li2832fx即有 ba又 时， 时，2xxf3)(2axf)(故 ff xx 2lim)(,1lim)(又因 在 处可导故 ，即 ，解出)2(ff 1a16b9例 7 (1) 设函数 ， ，求 与)3ln(cos)(2xf 1,0)(f1f解：函数 在 上连续， 内可导l2xf ,，且 在 上连续。3)(si)(2f )(xf1,0故 4lnsi21,0)(0 ffff由定理 2，得到 )()ff 4lnsi2101(2) 求分段函数 的导数。0)1ln(si)2xxf解：首先易得 co)(2xf进一步考虑 在 处的导数，在此之前，我们只能用导数的定义来处理，xf0现在则可
17、以利用导数极限定理。由于 )0()1ln(im)(li00 fxxfx s2x因此 在 处连续，又因为)(xf1)cos21(li)0(2xfxlim0fx所以 ，依据导数极限定理推知 在 处可导，且1)(lim0xf )(f .1)0(f由上面两个例题可以看出，在求分段函数的导数，区间端点处的导数用定理 1，定理 2 及其推论是非常有效的。为我们考察函数在某点的可导性提供了一种新的方法，而且比原来的仅依据导数定义去判断的方法更简便。从而为高等数学的教与学提供了一个极为新颖而有效的方法。10参考文献1 陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析（上)M.北京：高等教育出版社，1999. 127-12
18、8.2 赵德让. 单侧导数与导数的单侧极限J. 青海师范大学学报， 2002,2(2):15-16.3华东师范大学数学系. 数学分析（上)M. 北京：高等教育出版社, 2001. 122-123.4 催广衡，沈缨. 导数的极限与单侧导数J. 江南大学学报，1994,8(3): 22-23.5 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社, 1988. 239-241.6 邓书显，于红霞. 导函数连续性定理及其推论J. 河南纺织高等专科学校学报，2001,9(2): 39.7 钱吉林. 数学分析题解精粹M . 湖北长江出版集团，2009.161-162.8 华苏,莫骄. 微积分学习指导书M. 北京：科学出版社,2003.40.9 黄立宏, 戴斌祥. 一元分析基础M. 科学出版社 , 1998. 92-100.10 王金金，任春丽. 函数的右导数与导函数的右极限的关系J. 高等数学研究，2008，12（5）：15-16.
