1、第一章习题参考解答1实变函数第一章习题参考解答3等式 成立的的充要条件是什么？)()(CBA解： 若 ，则 .ACBA)()(即， .AC反过来, 假设 , 因为 . 所以, . 故, B)(.B)()(C最后证， A事实上， , 则 且 。若 ，则 ；)(BxxCBxCBA)(若 ，则 ，故 . 从而, . Cx)( )(. 即 .ACA)()(反过来，若 ，则 因为 所以 又因为 ，B)(CBA所以 故 )(BC)()(另一方面， 且 ，如果 则 AxCAxx；如果 因为 ，所以 故 . 则 x)(,BBA. 从而BC)()(于是， )(AC4对于集合 A，定义 A 的特征函数为 ， 假设
2、AxA,01)(是一集列 ，证明： nA,21（i） )(inflm)(iflmxxn AA（ii） supsupli nnn证明：（i） ， ， 时， .)(iflnmNxN00nmmAx第一章习题参考解答2所以 ，所以 故1)(xmA1)(inf0xmA 1)(infsup)(infl xxmANbA，有Nnifl kn有 ，故 ，即 =0 0)(ifxxmnkmAnAk 0)(ifsxmAnNb )(iflxnAn，从而 l)(iflxnn 5设 为集列， ， 证明 1B)1(1ijii（i） 互相正交n（ii） iniAN1,证明：（i） ；不妨设 nm，因为 ，又m, mninnAA
3、B1因为 ，所以 ，故 ，从而 相互mBmnnAm1B正交.（ii）因为 ，有 ，所以 ，现在来证：)1(iiiBiniAB1iniA1当 n=1 时， ；A当 时，有：nini1则 )()()()()( 111111 ininininini BA 事实上， ，则 使得 ，令inAx1iixiii|m0且则 ，其中，当 时， ，从而， iniii Bx110010iiiA10iniBA16设 是定义于 E 上的实函数，a 为常数，证明：)(f（i） =|x)(1nxfn(ii) =)(|f 1证明：（i） 且)(|axfExEaxf)(1|1)(, nnfNn 且使 得第一章习题参考解答3x
4、)(|1)(|1 axfEnaxfEn 1)(|1naxfEn反过来， ，使Nf,)(| |即 故 xxf且)( )(|xf所以 故|1)(|1 aEnafEn )(|1xfxfn7设 是 E 上的实函数列，具有极限 ，证明对任意常数 a 都有：)(fn )(xf 1)(|inflm1)(|iflm|1 kxfEkaxfaxfE nnnk 证明： ，即 ，且NxfE,)(| kaf1)(因为 ，使 ，有 ，故nxfn，)(li nxn所以，)(1|mkam )(|kfEm= ，由 k 的任意性：)|xfExnN 1|iflaxn，反过来，对于 ，(|il1 knk 1)(|infl1 kaxf
5、Enk ，有 = ，即)(|iflxfExm|mnN时，有： 且 ，所以， 且mNn， ka1Ekxff)(li. ，故 从而Exk又 令 xf且)( )(|axx故 =)(|af)(|inl1 kfEnk8 设 是区间（a，b）上的单调递增的序列，即xn )()(21xfxffn若 有极限函数 ，证明： ，)(xfn Ra)(1axfEafEn证明： ，即： 且 ，因为)(xfEx)( )(limf第一章习题参考解答4所以 ，恒有： ，从而， 00,nNnE)(xafn且 )(0axfn)(1axfEn反过来， ，使 ，故 ，因此，Nxfn01,)( )(0xfn0且 ,即， ，afxffn
6、n)()(lim0E)(afx从而， )(1fEn10证明： 中坐标为有理数的点是不可数的。3R证明： 设 Q 为有理数集，由定理 6：Q 是不可数的。现在证： 可数 ，因为 zyx,|),(都 是 有 理 数 Qx是可数个有理数集的并，故可数，)(Qx又因为 并且 ，所以)(Qxx，可数 x故 可数14证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明： 设 Q 为可数集，不妨记为： ,321 nrrQ,令 则 为有限集（ ） ，则Nn,|321n nraAAn2为正交可数集，即0C又因为 ，所以 ，故Qx|Q0CA 是 Q 上一切有限子集的全体。15设是两两不相交的集所组成的集列，证明： nnEli
7、mli证明： 因为 两两不相交，所以， ，故,21 mnEN,11)(linmnn第一章习题参考解答5另一方面，若 ，我们取)(lim1mnnEnExlim0则 ，使得 .特别的，当 时， ，当kNk, kxNk1nEx有,1时： （ 从而，1n 21122, x， 有 )2n21Ex这与 矛盾，故21nnElim从而 nlili16若集 A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即 A= ，而每个指标21xaix在一个势为 C 的集中变化，则集 A 的势为 C。证明：设 在势为 C 的集合中变化，即 A=ix 121),(|21 iixBa因 是既单又满的映射，RBii :,定义 , 12
8、11 ),(;: iiii Bx ),()(,()2121 xx故 得既单又满的映射,从而，RBii到是 1 RAii1从而 CA17设 的势是 C，证明至少有一个 的势也是 C。n1n证明：因为 ，所以nnAN1,Ann1如果 ，则 ，即， 正交可数，从而， 正交可n, , nA1数.这与 矛盾.CAn1故， ,使 .n第一章习题参考解答618证明：0,1上的实函数全体具有势 C2证明：设 ，则1,0|A记0，1上全体是函数所构成的集合为 对于 ，定义函数x,即 是集合 A 的特征函数。AA.0,1)(,|C2另一方面， ，定义 f 1,0|)(,xfBf则 ， ，则2RBf|RC2，所以
9、，从而，|f C220证明： 中孤立点集市有限或可数集n证明： 中， 是 的一些孤立点所构成的集合ExnR由定义， ，使得 .现在令 ，0x),(xExO |)2,(ExO则 中任意二领域是不相交的事实上，若 ，有yxE, )2,(),(yx取 ，并且不失一般性设： ，则)2,(),(yxOzyx.故 ，这推出yxzyx ),(),(),( )2,(),(yOx，这与 矛盾.y，取一个有限点 ，则，当， ,所以Ex)2,(xxOryxr，故 .E 正交可数.|rx |Ex19设 称为 E 的内点集，证明： 是开集。|0Rn， 的 内 点是 0E第一章习题参考解答7证明： ，因为 x 为 E 的
10、内点， 使得： ，现在证：0x0Ex),(),(事实上， ，取),(xy|y-x|则 ，故 ，从而， ，即E,),(00),(Ex中每个点都是 得内点0E0因此， 为开集021假设 是a,b上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。f(x)证明：a,b中右极限存在的间断点是至多可数的 .令 有限 ， ，)0()lim|), xffbaSx Nn作： ,时，使得|,En ),(, bax则：（1） 上连续点的集合),(1baxfn在是事实上， ，取00)1(n即因 ，故 有nEx0 ,0baxx |)(|0xf即， 在 点连续。)(f（2） ，因 有限，故 使得nSN, )()li
11、m0xffx x， ，故， 有),(bax n21| ),(,x，从而， .现在证：nff1|)| nxE),( |)(nxESA是两两不相交的开区间集不妨设 ，如果, 2121xESxn， 21，取),()(21xx ),(),(212xxx则 即， ，这与 矛盾，故 A 两12 nE21 nES两不相交，从而 可数nES故 至多可数。)(1n第一章习题参考解答8即， 中第一类间断点至多可数。),ba20证明 中孤立点集是至多可数集nR证明：设 F 是点集 E 中一些孤立点所构成的集合，有0,x),(xxO现在先证： 是两两不相交的|)2,(Fx事实上， ，如果 ，则2121,)2,(),(
12、1xxOy（不妨设 ） ，故),(),(),(2121xyx221xx21x,这与 矛盾.,2EOxx21所以， 是两两不相交的.|),(F,取有理点 ，故 ，从而，x)2,(xxOrQFxr|0CF22证明： 中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并.nR证明：设 F 是 中的一个闭集，先证： ， = | 0),(ORx是 R 中的开集，其中),(x |inf),(FyxFx，则 ，取 ，故),(O),(),(),(,F事实上， ，所以 是开集),(xt ),(FO现在证： 、1nn事实上， ， ，所以 .N),()1,(nFn反过来， ，有 .故 .),(1FOxnx
13、10,x,即 . ，使 .所以 .故，R0),(OR),(xO第一章习题参考解答9，这与 矛盾.所以 ，从而 .),(Fx0),(FxFx)1,(nFOn再来证：每个开集必是可数个闭集的并.事实上，若 是开集，则 是闭集.所以存在可数个开集 ，使得GRNn，所以 .即 是可数个闭区间集nOR )(11nnnQOG的并.1)(Q23.假设 是一列开区间，如果 ，证明 是一个开区间iI iI1iI1证明： ，记 ， ，其中NNi|nfNi|sup，因为 ，所以可取),(iiIinI1),(10iinIx现在我们证： i),(因为 ， ，故Ni),(),iiI ),(1iI反过来， ，即 ，当 时，
14、因为 ，所以 ，,(xx0xxN1i有 .所以 . 如果 ，110iix iii II1),(1 0，使 ，故 ，从而N2 22iixiii21,iI1),(24.设 ， 是 E 的一个开覆盖，证明： 中必存在RE|AB |AB至多可数个 ，使得 .|NiiBiN证明：不妨设 中每一个元都是开区间. ，存在 ，有| Exx，故有： 端点的开区间 ，使得 .即， .xBR),(RrxxBixE又因为 |),(Exrx Q|所以 可数.不妨设 = ，又记|Ex |x|Nnx|n.其中，|NnB nB(故 nnxNNE第一章习题参考解答1025.已知：可数集 ，开区间列 ，,21, nE)1,(，)
15、21,(，覆盖了它，这里 ，从此覆盖中能否选出集 的有限 ,n 0E子覆盖.答：不能，证明如下：证明：（反正）如果 ， ，使得 （*） ，不kn,21N)21,(nkiE妨设，因为 ， ，则knn21 )(ki1221kkki nn1kn.这与 矛盾.所以（*）不真.),(kkiEkn1226.设 是一簇集合，如果 ，有 ，则称|AFAn,21 iFni1集合簇 具有有限交性质.|证明：如果 是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么 .| A证明：取 ，令 ，其中A0 1),(|0FxRGn ),(0Fx， ，则 是 中开集.且 ，|),(inf0Fyxiiiyyx12),(GnRG0如果 ，则
16、 .A )(0 AA由 Borel 有限覆盖定理（P27 定理 9） ，存在 ，使得m,21 0F.从而， ，这与 具有imimi FGi 11)( iimiF01)(0 |有限交性质矛盾.27.试用 Borel 有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass 定理（P24 定理 4，若 是E是一个有界无穷点集，则 ）.E证明：设 是 中的有界无穷点集，如果 ，则 ， ，使nREx0x得，则 .由 Borel 有限覆盖定理，),(xxO),(xExO，有 ，从而 =n,21 ,1ixmi ),(1ixmiOE第一章习题参考解答11= =),(1ixmiOE1im，这与 为无穷集矛盾，从
17、而 .,2nx EE29.可数个开集的交称为 型集，可数个闭集的并称为 型集.证明：有理数集GF不是 型集，但是 型集.GF证明：设 为 中全体有理数所构成的集合.如果 是 型集，即 ，QR QGnG1其中 是开集，由开集的结构， ， ，其中 是n Nn),(knknkk),(互不相交的开区间.不是一般性，设 这是，必有 11111 nnnk（1） 1n事实上，如果 ，即 为有理数， .因为 ，1r1nrNk，故 ，这与 矛盾.knr1 QGrnnkk ),(r(2) ,N1, 如果 ， .则 .因此， ，有,*knk 1,*knkr.这有： 这是一矛盾.1, *knknrrk)(3) .su
18、p,k事实上，若 ，则 为有限实数， ，使得 ， ，nnQrkrnk,故 ，这也是一矛盾.QGrkk),(|),( , kRnknknkn 为可数集，,|,111 kNknnnn 这与 矛盾.CQ因为在 中单点集是闭集，所以 ，令 ，则 为闭集，所以RQrrF，故 为 型集.rQF第一章习题参考解答1230定义在 上的任何函数的连续点构成的集合是一个 型集.1,0 G.证明：开区间 中有理点的全体不是一个 型集，但是一个 型集.92),( 30.是否存在 上的的函数满足：在有理点处连续，而在无理点处都不连续？是证明你的结论.回答：不存在.为此，只需证明如下命题命题（*）：开区间 中的任何函数的
19、连续点构成的集合是一个 型集.这是)1,0( G因为，如果存在 上的函数 ，使得 .,f )(lim|)1,0()1,0( xffxQx当命题（*）成立时，必有 为 型集，这与 题的结论矛盾.,G92命题（*）的证明：设 是开区间 有定义的一实函数，记 ，)(xf)1,0( )(li|)1,0(xffxEx下证： 是一个 型集.EG，令 且Nn1|),(nA),(2,x.又记 .于是，我们只需证： .xff1|)(|21nnNGE事实上， ，因为 ，所以 ， ，使得E)(limxffx 0，恒有 ，所以1,0(),(nnxxnxf21|)(|，恒有,21 |)(|)(| 121 xfxf，故
20、，所以nxf1|)(|nnGx,( nnnG1,(即， nGE1反过来， .nx1 ),(,0,:( nxxf )|()|2ff，取 ，使得 .因为0Nn0n001nnAGx所以 ： ，使得 ，并且 有R, 1),(),(,21x第一章习题参考解答13，取 ，故 ： ，0211|)(| nxff 0,minxx|即， ，所以 .从而x ),(),(x 01|)(| nxff )(limxf.故 .因此， 真.)fEnG131.假设 ，且对任意 ，存在 的一个 -领域 ，使得RARxx),(x最多只有可数个点，证明： 必有有限级或可列集.x),(A证明：因为 ， 使得 是一个至多可数集，0xxx
21、xB),(而 ),(xAx由 24 题， 使得： ANi| ),(1iixxin又 .即 至多iiiii xnixxin B 11),( A可数.32.证明下列陈述相互等价.(i) 是无处稠密集A(ii) 不包含任何非空开区间(iii) 是无处稠密集（iv） 的余集 是稠密集AC无处稠密集： ， 称为是无处稠密的，如果， ， ，nRE0nRx.),(xO证明：（i） (ii).设 是无处稠密集，即 ， 有A0x.),(如果 ，有 .取 ，取 ，故(R),(2x02.这与 得假设矛盾.所以 i (ii)真.Ax),( A),（ii） (iii).如果 不是无处稠密的，即 ， ，使得nRx0第一章习题参考解答14),(x.这与 不包含任何非区间矛盾.A,(iii) (iv).设 无处稠密 .现在我们证： .RA,如果 ，则 ，所以 ，有Rxxx0.A)(故 .所以 . )(,xARx(iv) (i).设 ， ， ， .R0),(ARx所以 .从而， 无处稠密.Ax),(33.证明：若集合 的聚点 不属于 ，则 是 的边界点.E0xE0x定义： 称为 的边界点，如果 ，有 且0xEO),(.O),(0证明：设 ，则 ， .Ex00 xx),(),( 000 且 ，即， 是 的界点.)(),(0RnxE第一章习题参考解答15第一章习题参考解答16第一章习题参考解答172x
