1、关于 x以及x 的性质与应用摘 要： 和 是非常重要的数论函数,其他许多数学分支都要涉及到，在x国内外的数学竞赛中也经常出现含有 和 的问题,这类问题新颖独特,颇x具启发性。本文主要讨论 以及 的性质，和 以及 在数学中的应用，xx以及 以及 在数学竞赛中的应用。x关键词： 取整函数；小数函数；性质；应用；例题Abstract ：x and x are the extremely important arithmetical functions, other many mathematics branch all must involve, also frequently appears in
2、 the domestic and foreign mathematics competition includes x and the x question, this kind of question novel unique, quite has the instructive.This article mainly discusses x as well as the x nature, with x as well as x in mathematical analysis application, as well as x as well as x in mathematics c
3、ompetition application.Key words： Integer function Decimal function Nature Application Sample question关于x以及x的性质与应用目录1、引言 .- 1 -2、x以及x的定义 .- 1 -2.1、取整函数x的定义 - 1 -2.2、小数函数x的定义 - 3 -3、取整函数x的基本性质及证明 - 3 -4、取整函数x以及小数函数x的图像及其性质 .- 5 -5、取整函数x以及小数函数x在解题中的应用 .- 6 -5.1、取整函数x一些基本性质的应用 - 6 -5.2、数学竞赛中用多种方法解决取整函数
4、 .- 7 -5.3、取整函数x在极限、积分、导数、级数中的应用例题 .- 11 -6、回答引言提出的问题 - 13 -7、总结 - 14 -参考文献 .- 15 -致 谢 .- 16 -1、引言某市电信局 130 手机与 137、138、139 手机有不同是收费方式。137、138、139 手机的收费方式为：月租费 50 元，基本通话费 0.40 元/分钟，不足一分钟按一分钟计算。130 手机的收费方式为：没有月租费，但是基本通话费为 0.54 元/分钟，不足一分钟也按一分钟计算。小明今购了一部手机，他每月通话的时间大约 20 小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？我们可以用
5、取整函数解决这个问题，那什么是取整函数呢？我们在学习数学的过程中，常常看到取整函数的身影，在离散数学、微积分、数学分析中都有取整函数的应用，纵观几年的数学竞赛，发现了取整函数也是数学竞赛的热点之一。然而含有取整函数的题目往往比较困难，要解决关于取整函数的问题我们就要好好了解取整函数，什么是取整函数，它有什么性质，它的应用有哪些。2、x以及x的定义 12.1、取整函数x的定义函数 ，称为高斯函数，又称取整函数。xy给定实数 ，我们可以对它进行一种特殊的运算取整运算，即取出不超过的最大整数部分，通常记为 ， 满足下面的三个条件：xx(1) 是整数；(2) ; (3) 1, N，则从 1 到 的整数
6、中， 的倍数有 / 个xmxx例题 5 证明定理 3证：由 1,m N，则从 1 到 的整数中，m 的倍数有xx /m个。x5.2、数学竞赛中用多种方法解决取整函数下面是关于解决取整函数的多种数学方法的例题：例题 94 若实数 使得 ，求 。r192091.5460rr10r解：等式左边共 73 项，且因 都小于 1，则每一项为 或 ，,., 注意到，故必有 。进一步有： ，所以原式左735467387r73546边从第 1 项至第 38 项其值为 7，自第 39 项以后各项值为 8。即：;00.568,.743rr注：此题采用了分类讨论法。例题 105 求 的值。1023n解：由题意得：对于
7、任意的 1,2.0n由于 10,2.10133()23(10).10nn n 关于x以及x的性质与应用231023, 2310nnZ又 因 为23102nn10 15010n10235n注：本题采用了分组凑整的思想例题 11 对任意的 ，证明：nN14243nn证明：首先证明 。令 ，则11xn241xn当 时， ，于是 ，那么2xmZ21xm2m，443n当 时， ， 即 ，1x24xn2n21mn那么 。2253mn所以命题成立，也就是： 。1243 故： 41243nn又： 21124n2 3n4143nn14243nnn注：本例的证明采用了“两边夹” 6法则。若 且 ，则 ，我们把这x
8、axa个结论叫做“两边夹”法则。例题 12，解方程 56178x解：令 ，则 ，带入原方程整理得：nZ571nx，由取整函数的定义有 ，解得：10394n 0394，则 。0,1n若 ，则 ；若 ，则 。0n75x5x注：本例中方程为 7型的，通常运用取整函数的定义和性质并结合换元uv法求解。例题 13 解方程 142x解：由取整函数的性质，得： ，即 ，令142x17x，在同一坐标系中画出二者的图象：11,42xy分析两者在区间 内的图象，,7显然，当 时， 1,x104x而 ，方程不成立；当2时， ；当1,3x1042x时， ；当 时， 而 ，,515,7x14x12x方程不成立。关于x以
9、及x的性质与应用综上所述，原方程的解是： 。15x注：本例为 型方程。首先由 ，求出 的取值区间。但此条uv1uvx件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用 和 的图象fvgx进行分析才能得到正确结果。例题 14，解方程 3x解：若 ，则 ，原方程不成立；1120x若 ，则 ，原方程不成立；0x3331x若 ，则 ，原方程不成立； x若 ，则 原方程即为 ；解得： ；12x331.34x34x若 ，则 ，原方程不成立；332xx所以，原方程的解为： 。34注：此题采用的是分区讨论法例题 15 证明：若 是大于 2 的质数，则 被 整除。p125p证明：由二项式定理知：对于任意的 是一个整数
10、，又,pppZ因为， 于是有：1251,2525pppp,其中 是质数。因112422ppppCC 为都能被质数 整除，所以原命1212,41!kppkCp p题成立。注：本题采用的是构造法，所谓构造法就是通过建立结构或体系，构造对象或指出达到某种目的的方式和途径。以上是解决取整函数的多种数学方法，不难看出取整函数为什么成为数学竞赛中的热点，关于取整函数的题型是多种多样的，而解决的方法也很多，在解决关于取整函数的题目的过程中可以很好的体现出学生对数学的综合运用，取整函数作为一个初等函数，它非常重要，它的应用也非常广，下面我们来对它进行推广，看看它在数学中在极限 导数 积分 级数的应用。5.3、
11、取整函数x在极限、积分、导数、级数中的应用例题例题 16 （极限问题）x01lim求 极 限 1;xx解 当 时 ， 由 取 整 函 数 的 性 质 得0时 ， 有 -当 时 ， 有 x0001limli,lim1xx于 是 ， 从 而 。注： ，称 A 为函数 当 趋于 时的极限，此题是含有取整函数的0()f f0x极限问题。例题 17 设 ，求 与 。()sinfxx()f()fx解 当 时，1k(0,12,.sink当 时， 。因此 ，有 ，所x)fx()xk00lm()si()xfkxf以 在 内连续。()f,k又 ，所以limlisn0(),li()li(1)sin()xkxk xk
12、xkffxfk 在整数点 k 也连续。()f关于x以及x的性质与应用当 时，(,1)xk ()()coscosfxfkxx当 时， 0 0in)()limlim(1);kx xk 类似地有 。()(1kfk注:设函数 在点 的某领域内有定义，若极限 存在，yfx0 00()lixfx则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处可导，此题是含有取f0 f整函数的求导问题。例题 18 求积分 ( 为有限的自然数).（积分问题）dxn0解 = =n0k1nk1)= )(2利用以上积分的结果很容易得到 的积分,即x=dxn0dn0)(= xn0= )1(21x=注： ，这个题是含取整函数的定积分
13、问题，根据10lim()()nbiafxfdx也可以积分 。xn0例题 19 讨论 的收敛性（级数问题）0.51()nn解 因为 ，发散，所以级数非绝对收敛。0.511()nn当 时， 保持定号，所以有22(1),knk0.5,(1)()nkk0.52211 1)(.()knk ku 其中 ，显然， 。221.()kuk221()k当 k 充分大时 单调递减且 时， ，所以有交错级数的莱布尼兹定kku理知 收敛，从而原始级数条件收敛。1()kku注：此题是含有取整函数的级数问题， 。12.nknuu以上就是关于x以及x的性质与应用，从中可以看出取整函数应用的广泛性，以及它在数学领域的重要性，从
14、而也体现出了研究取整函数的价值。6、回答引言提出的问题通过以上对取整函数定义、性质以及应用的说明，我们可以用取整函数解决引言部分提出的手机收费问题。解决这个问题时，需要分别建立两种手机网络通话费 y 与通话时间 x 之间的函数关系式，再根据每月的通话时间，比较两种函数值的大小来决定。=20(小时)=1200（分钟）x130 手机通话费用 y 与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：x0.54,()yx1268137、138、139 手机通话费用 y 与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：xykxb0.4125053关于x以及x的性质与应用所以小明应该选择 137、138、139 收费方式的网络更
15、合算。7、总结数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。数学提供了有特色的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、建立模型，应用这些思考方式能使人们批判的阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学是思维的工具，数学的抽象性帮助为我们抓住事物的共性和本质，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，数学是思维的体操，它能增强思维的本领，提高抽象能力、逻辑能力和辩证思维能力。数学教学与社会生活相互依存，相互融合，数学问题来源与生活。而生活问题又可用数学知识来解决。不管对于什么东西，我们都要经历四个步骤去认识它：了解，发
16、现，验证，应用。本文通过对取整函数 以及小数函数 的定义、性质、图像及其性xx质以及应用的逐一详解，很好的展现了取整函数。从而也完成了关于 以x及 的性质与应用的论文。x参考文献1 余红兵.浅谈 以及 .华东师范大学出版社（M）. 2002 年.x2 余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究.高等教育出版社（M）.2007 年 4月.3 肖果能.初等数学思想方法选讲.湖南教育出版社（J），2001.104 穆德华.中学数学竞赛辅导讲座;昭通师范高等专科学校学报（J）;1989 年S1 期.5 朱立. 取整函数在中学数学竞赛中的应用.大众科学.科学研究与实践（J）.2008 年 10 期.6 张顺燕
17、.数学的思想方法和应用.北京大学出版社（M），2009.87 潘承洞,潘承彪.初等数论.北京大学出版社（M）,1992.关于x以及x的性质与应用致 谢大学生活一晃而过，回首走过的岁月，真是感慨万千，当我写完这篇论文的时候，有一种如释重负的感觉，心里好踏实。首先要感谢我的指导老师王文武老师，从选题开始他就给了我很多的帮助，论文题目是老师拟的，老师还介绍了一些参考文献，在修改初稿的时候也提出了很多不足需要改正的地方，平时有问题的时候他也会很耐心的帮助我们。就是因为他耐心负责的态度，让我完成了我的毕业论文。其次要感谢我的同学们和给我知识的老师们，虽然我们每个人都在做不同的事，但是都彼此给予帮助、鼓励，让我们彼此能完成自己的任务。最后要感谢一切给予过我帮助的人，包括我的父母、我的朋友、包括每一个对我微笑的人，我想心灵的支撑是我们彼此之间最大的鼓励。我要衷心的对每一个帮助过我的人说声谢谢。
