1、隐函数和参数方程求导,张世涛,相关变化率,三、相关变化率,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,主要内容：,一、隐函数的导数,隐函数的显化,问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,隐函数求导法,注意： 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.,两边对 x 求导,(含导数 的方程),若 确定了隐函数 ，怎样求y ？,例1,解,解得,例2,解,于是，所求切线方程为,练习,例3,解,设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,，再代入 得,求,练习,对数求导法先对 y=
2、f(x)（0）两边取对数(或加绝对值后两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数，实际上，对数求导法是利用隐函数求导法求显函数导数的一种方法。,适用范围:,例4,解,等式两边取对数, 得,例5,解,等式两边取绝对值再取对数，得,练习,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如:,消去参数 t 得,问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?,平面曲线参数方程的一般形式,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),平面曲线参数方程的一般形式,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,例6. 设, 且,求,解:,例7. 设由方程,确定函数,求,
3、解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,三、相关变化率,两个相互关联的变化率称为相关变化率。当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化率求出另一个变化率。,解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.,例8,解,仰角增加率,h米,试求当容器内水,例9. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,小结,思考题,
