1、1相似三角形的存在性（作业）例：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C(4， )，且与 x 轴3的两个交点间的距离为 6（1）求二次函数的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 Q，使得以 Q，A ，B 为顶点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由xyOCBA xyOCBA第一问：研究背景图形【思路分析】由顶点坐标 C(4， )可知对称轴为直线_ ，利用两个交点间的距离3为 6，再结合抛物线的对称性可知 A(_，_)，B(_，_)设交点式_，再代入坐标_可求解出解析式_6(4， -3)(7， 0)(1， 0) xyOCBA【过程示范
2、】顶点坐标为 C(4， )，3抛物线对称轴为直线 x=4，又抛物线与 x 轴的两个交点间的距离为 6，由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B (7，0)设抛物线的解析式为 ，()7yax分析不变特征，确定分类标准 定点：_；动点：_；目标三角形：特征：2Q1ExyODCBAQ2 xyOCBA将 C(4， )代入可得， ，339a所求解析式为 287yx第二问：整合信息、分析特征、设计方案【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：分析特征：先研究定点、动点，其中_为定点，点_为_的动点；则_为目标三角形进一步研究此三角形，发现其中_；构造辅助线：_，能够计算出BAC=_，A
3、CB=_；再考虑研究 QAB，固定线段为_，并且由于点 Q 在x 轴上方的抛物线上，所以QAB 为_（填“ 钝角”或“直角” ）三角形画图求解：先考虑点 Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时ABQ 为钝角，要想使 ABC 与ABQ 相似，则需要 ABQ=_，且_ 求解时，可根据 ABQ=_，AB= BQ=_来求出Q 点坐标同理，考虑点 Q 在抛物线对称轴左侧时的情况结果验证：考虑点 Q 还要在抛物线上，将点 Q 代入抛物线解析式验证【过程示范】存在点 Q 使得QAB 与ABC 相似由抛物线对称性可知，AC=BC，过点 C 作 CDx 轴于 D，则 AD=3，CD= 3在 Rt ACD 中，tan
4、DAC= ，3BAC= ABC=30，ACB=120当ACBABQ 时，ABQ=120且 BQ=AB=6过点 Q 作 QEx 轴，垂足为 E，则在 RtBQE 中，BQ=6 ，QBE=60 ，QE=BQ sin60= ，BE =3，362E(10，0)，Q 1(10， )当 x=10 时，y= ，点 Q1 在抛物线上3由抛物线的对称性可知，还存在 AQ2=AB，此时Q 2AB ACB，点 Q2 的坐标为( -2， )3综上：Q 1(10， )，Q 2(-2， )331. 如图，已知抛物线 y=x 2-1 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，过点A 作 APCB 交抛物线于点 P
5、（1）求 A，B，C 三点的坐标（2）在 x 轴 上 方 的 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 M， 过 点 M 作MGx 轴于点 G，使以 A，M，G 为顶点的三角形与PCA相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由xyOPCBA xyOPCBA42. 如图，抛物线 y=ax2+b 与 x 轴交于点 A，B，且点 A 的坐标为(1，0)，与 y轴交于点 C(0，1)（1）求抛物线的解析式，并求出点 B 的坐标（2）过点 B 作 BDCA 交抛物线于点 D，在 x 轴上点 A 的左侧是否存在点P，使以 P，A ，C 为顶点的三角形与ABD 相似？若存在，求出点 P 的坐标；
6、若不存在，请说明理由 xyODCB A xyODCB A3. 如图，抛物线经过 A(4，0)，B (1，0)，C(0， -2)三点（1）求抛物线的解析式（2）P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 xyOCB A5【参考答案】例题示范：第一问： x=4，(1 ，0)，(7，0) y=a(x-1)(x-7)，C(4， )，3283799yx第二问：点 A，B ，C，点 Q，在 x 轴上方的抛物线上，ABC，CA=CB ，过点 C 作CDAB 于点 D，30，120，AB，钝角。 120，BA=BQ ，120，61.（1）A(-1， 0)，B(1，0)，C(0，-1)（2）存在，(-2，3) ，( )，(4，15)4739，2.（1） ，B (-1，0)2yx（2）存在， 120)P， ， ，3.（1） 25yx（2）存在， 1234()()(02)(31)P， ， ， ， ， ， ，分析不变特征，确定分类标准； 定点： A，B，C；动点：_Q_；目标三角形：ABC特征：CA=CB ，ACB=120
