1、两角和与差的正弦、余弦和正切本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) cos() cos_cos _sin_ sin_；(2) cos()cos_cos_sin_ sin_；(3) sin() sin_cos_cos_sin_；(4) sin( )sin_ cos_cos_sin _；(5) tan() ；(6) tan() .tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余
2、弦、正切公式(1) sin 22sin_cos _；(2) cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2；(3) tan 2 .2tan 1 tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_ )；(2)cos2 ，sin 2 ；1 cos 22 1 cos 22(3)1sin 2(sin cos ) 2,1sin 2(sin cos ) 2，sin cos sin .2 (4)4函数 f()acos bsin (a，b 为常数)，可以化为 f() sin()或 f() cos()，a2 b2 a2 b2其中 可由 a，b 的值唯一确定 两个技巧
3、(1)拆角、拼角技巧：2() ()；()； ； . 2 2 2 ( 2) (2 )(2)化简技巧：切化弦、 “1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等双基自测1下列各式的值为 的是( )14A2cos 2 1 B12sin 27512C. Dsin 15cos 152
4、tan 22.51 tan222.5解析 2cos2 1cos ； 12sin 275cos 150 ； 12 6 32 32 2tan 22.51 tan222.5tan 451；sin 15cos 15 sin 30 .12 142若 tan 3 ，则 的值等于( )sin 2cos2A2 B3 C4 D6解析 2tan a236，故选 D.sin 2cos2 2sin cos cos2 3已知 sin ，则 cos(2)等于( )23A B C. D.53 19 19 53解析 cos(2)cos2 (1 2sin 2)2sin 212 1 .49 194设 sin ，则 sin 2(
5、)(4 ) 13A B C. D.79 19 19 79解析 sin 2 cos 2sin2 12 21 .(2 2) (4 ) (13) 795tan 20tan 40 tan 20 tan 40_.3解析 tan 60tan(2040) ，tan 20 tan 401 tan 20tan 40tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40) tan 20tan 40，3 3原式 tan 20tan 40 tan 20tan 40 .3 3 3 3考向一 三角函数式的化简【例 1】化简 .2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(4 x)审题视点 切化弦，
6、合理使用倍角公式解 原式 2sin2xcos2x 122sin(4 x)cos2(4 x)cos(4 x) cos 2x.121 sin22x2sin(4 x)cos(4 x)12cos22xsin(2 2x) 12三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向【训练 1】 化简： .sin cos 1sin cos 1sin 2解 原式(2sin2cos2 2sin22)(2sin2cos2 2s
7、in22)4sin 2cos 2cos tan .(cos2 sin 2)(cos2 sin2)sin2cos2cos (cos22 sin22)sin2cos2cos cos sin 2cos 2cos 2考向二 三角函数式的求值【例 2】已知 0 ，且 cos ，sin ，求 cos() 的值2 ( 2) 19 (2 ) 23审题视点 拆分角： ，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦 2 ( 2) (2 )解 0 ， ， ，2 4 2 2 4 2cos ，(2 ) 1 sin2(2 ) 53sin ，( 2) 1 cos2( 2) 459cos cos cos cos sin sin 2 (
8、 2) (2 ) ( 2) (2 ) ( 2) (2 ) ，( 19) 53 459 23 7527cos() 2cos 2 12 1 . 2 495729 239729三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余互补”关系【训练 2】 已知 ， ，sin ，tan( ) ，求 cos 的值(0，2) 45 13解 ， ， ，(0，2) 2 2又tan( ) 0， 0.13 2 1tan 2( ) .1cos2 109cos( ) ，sin( ) .31010 1010又si
9、n ，cos .45 35cos cos( )cos cos()sin sin( ) .35 31010 45 ( 1010) 1010考向三 三角函数的求角问题【例 3】已知 cos ，cos( ) ，且 0 ，求 .17 1314 2审题视点 由 cos cos()解决解 0 ，0 .又cos() ，2 2 1314cos ， ，sin 17 2 1 cos2 437sin() ，1 cos2 3314cos cos( )cos cos()sin sin( ) .17 1314 437 3314 120 . .2 3通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值
10、，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范(0，2)围是(0，) ，选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好( 2，2)【训练 3】 已知 ， ，且 tan ，tan 是方程 x23 x40 的两个根，求 的值( 2，2) 3解 由根与系数的关系得：tan tan 3 ，tan tan 4，3tan 0，tan 0， 0.又 tan() .tan tan 1 tan tan 331 4 3 .23考向四 三角函数的综合应用【例 4】(2010北京)已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x.(1)求 f 的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值
11、(3)审题视点 先化简函数 yf(x) ，再利用三角函数的性质求解解 (1)f 2cos sin 2 1 .(3) 23 3 34 14(2)f(x)2(2cos 2x1) (1cos 2x)3cos 2x1，xR .cos x 1,1，当 cos x1 时，f(x) 取最大值 2；当 cos x0 时，f(x) 取最小值1.高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为 yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练 4】 已知函数 f(x)2sin(x)cos
12、x.(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 6，2解：f(x )2sin xcos xsin 2x(1)f(x)的最小正周期 T .22(2) x ， 2x. sin 2x1.6 2 3 32f(x)的最大值为 1，最小值为 . 32难点突破：角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于
13、“变角” ，如( )，2( )( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】已知 tan 2，则 的值为_(x 4) tan xtan 2x二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 (2011南昌月考)已知 tan() ，tan ，且 ，(0，)，求 2 的值12 17三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一
14、个新考查方向【示例】已知向量 a(sin ， 2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 .(0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos( )3 cos ，0 ，求 cos 的值52习题：1. sin163i2sin53i1 _2. 化简 cox_ 3. 若 f(sinx)3 cos2x，则 f(cosx)_ 4.化简： si1s2_ 5 .化简：（1）421cotan()si()x；（2）(sinco)(sinco)2(0)（1）分析一：降次，切化弦解法一：原式=221(co)sin4s(c()xx2(cos1)4in(4x2cosin()x1cos2x分析二：变“复角”为
15、“单角” 解法二：原式21(cos)tan2icos)xx 22cosin2(s)x1cosx3cos2xco()tan（2）原式=2(sincos)(incos)22422(sincos)cso20， 0， cs02， 原式= cs点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手如：切化弦， “复角”变“单角”，降次等等6 化简22sincos1tan7 若 ita0x，化简 1csx_8 若 0 4，sin cos = ，sin cos = b，则 a与 的大小关系是_9 若 sincotan()2，则 的取值范围是_10 知 、 均为锐角，且 cossin()，则 tan=
16、 1 .11 简：21tan()si()4解：原式=2cosi()s()44 cos2in()()4cos2112 证： 222sincocosxx证明：左边= s2222cs(in1cos)sxx=右边13 简： 22siiins()解：原式= nsicosi)22 2siiisn22(1)s(1in)iscos2sincoincoso2(s)2si) )3,4(2cosxab1写出下列各式的值： （1） 2sin5co1_； （2） 22cos15in_；（3） _； （4） i_1_2已知 3(,)si,5则 tan()=_ 3求值：（1） 1tan_；（2） 5cos12_4求值： t
17、02(t0t)_1_5已知 a3，则 cos_6若 cos2in4，则 sin_7 求值：（1） si0(tan13)；（2） n58t0co分析：切化弦，通分解：（1）原式= sin10i4(3)co= sin103cosi4 2sin(106)i4co2sin0si8s（2） in10cos3in102si413ta3co，又 cos02cs5原式=in40ini82(si5in40)o1csco 2cos5点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换8. 4cos()5， 12cos()3，且 (,)2， 3(,2)，求 co
18、s，2分析： ()()， 2()()374 542解：由 4cos()5， (,)2，得 3sin()5，同理，可得 5sin()1332(65，同理，得 6co2点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如： ()()，()()等9. 3cos45x， 1724x，求2sini1tax的值分析一： ()解法一： 1724x， 5234x，又 3cos()45， sin()， 4tan()3x2410xx， 72si10， tan7所以，原式=272()()()875分析二： ()4x解法二：原式= sin2itan1xsi2(1tan)si2tan()4xx又 7sii()co)co()1
19、45x，所以，原式 748253点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路10 设 ),0(，若 sin，则 )4cos(2=_11 已知 tan 2=2，则 tan 的值为_，tan 的值为 _ 12 316sin，则 2cos=_13 3co(),()55，则 tan 14 值： 1sin20ta4_317971215 知 23,54cos求 4cos的值 奎 屯王 新 敞新 疆解： .2sinco2in4cso2 又 30,且 ,47354cos14sin2 奎 屯王 新 敞新 疆从而 254cosinsi2co ，74s21sin 奎 屯王 新 敞新 疆502317542co奎 屯王 新 敞新 疆
