1、专题 1: 排列、组合和二项式定理1.排列数 中 ;Pmn1,nN、组合数 中 .C0,m、(1)排列数公式 ：；!P(1)2(1)()mn nnm。!)【例 1】 （1）1！+2！+3 ！+n！（ ）的个位数字为 *4,nN（2）满足 的 28P6x(2)组合数公式：；P(1)(1)!()2mnnmnCm 规定 ， .0！ 0n【例 2】已知 ，求 n，m 的值?16mmnCA(3)排列数、组合数的性质： ；mn ；1mnnC ；1k ；12rnrr C ；!()!n .1()!()!n2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最
2、后的结果，只需一种方法就能完成这件事） ；分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ；有序排列，无序组合【例 3】 （1 ）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种.（2 ） 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（3 ） 从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能1,23,456确定不同点的个数是_（4 ） 72 的正约数（包括 1 和 72）共有 个AC BD（5 ） 的一边 AB 上有 4 个点，另一边 AC
3、上有 5 个点，连同 的顶点共 10 个点，AA以这些点为顶点，可以构成_个三角形（6 ） 用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（7 ） 同室 4 人各写 1 张贺年卡，然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式有 种（8 ） 是集合 到集合 的映射，f,Mabc1,0N且 ，则不同的映射共有 个；()f()（9 ） 满足 的集合 A、B、C 共有 组4,321CBA3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元
4、素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置。【例 4】 （1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种.（2）某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有_种.（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（4）某班上
5、午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（2 ） 间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。【例 5】在平面直角坐标系中，由六个点 (0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3
6、)，(1,2)，(2, 1)可以确定三角形的个数为_（3 ） 相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素 “捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再 “松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列） 。【例 6】 （1 ）把 4 名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（2 ） 某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中中恰好有 3 枪连在一起的情况的不同种数为_（3 ） 把一同排 6 张座位编号为 1，2 ，3，4，5 ，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 _（4 ） 不相邻(相间
7、)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。【例 7】 （1 ）3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种.（2 ） 某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（5 ） 多排问题单排法。【例 8】若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，每排各 n个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（6 ） 多元问题分类法。【例 9】 （1
8、）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有 5 种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种.（2 ） 某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门 .其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种 .（3 ） 9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中3 人担任英语翻译，选拨的方法有_种.（7 ） 有序问题组合法。【例 10】 （1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 2 本不同的书，
9、有 种不同的放法.（2 ） 百米决赛有 6 名运动 A、B、C 、D 、E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_种.（3 ） 学号为 1，2 ，3，4 的四名学生的考试成绩且满足 ，则这四位同学考试成绩的所89,0,(,)ixi1234xx有可能情况有_种；（4 ） 设集合 ，对任意 ，有 ，1,2345,678AxA(1)2(3)ff则映射 的个数是_；:f（5 ） 如果一个三位正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数321a2321a且为凸数（如 120、363 、374 等） ，那么所有凸数个数为_ ；（6 ） c/a 等于 (其中 且
10、)的不同形状的的双曲线qplog91,q*,Np的个数为_。（8 ） 选取问题先选后排法。【例 11】某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_.（9 ） 至多至少问题间接法。【例 12】从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种（10 ）相同元素分组可采用隔板法。【例 12】 （1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？ （2 ） 某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且
11、型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以n！。【例 13】 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种.5.二项式定理：，01()nnrnrnabCabCab 其中组合数 叫做第 r+1 项的 二项式系数；rn展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项 1(0,12rnrT,)n称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项
12、的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在 的展开式中，第项的二项式系数为 ，()naxb rnC第项的系数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；rnCab1()nx（2）当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？【例 14】 （1） 的展开式中常数项是_；371(2)x（2） 的展开式中的 的系数为_ 3410(1)()()xx 3x（3）数 的末尾连续出现零的个数是_10(4) 展开后所得的 的多项式中，系数为有理数的项共有 _项.403(72)xx(5)若 的值能被 5 整除，234561651(21)xN且则 的可取值的个数有_个.x
