1、第二章 2.2 2.2.2 第 1 课时一、选择题1(2015广东文，8)已知椭圆 1( m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m( )x225 y2m2A2 B3 C4 D9答案 B解析 由题意得：m 2254 29，因为 m0，所以 m3，故选 B.2已知椭圆 1 的焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 m( )x210 m y2m 2A4 B5C7 D8答案 D解析 因为焦点在 y 轴上，所以Error!6b0)的左、右顶点分别是 A，B ，左、右焦点分别是 F1，F 2.若x2a2 y2b2|AF1|，| F1F2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A. B.14 55
2、C. D. 212 5答案 B解析 本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等A、B 分别在左右顶点，F 1、F 2 分别为左右焦点，|AF 1| ac，| F1F2|2c，| BF1|ac，又由| AF1|、|F 1F2|、|F 1B|成等比数列得(ac)( ac)4c 2，即 a2 5c2，所以离心率 e .556我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为“优美椭圆” 设 1( ab0)是优5 12 x2a2 y2b2美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF 等于( )A60 B75C90 D120答案 C解析 cos ABF|AB|2 |BF|2 |AF|22
3、|AB|BF| a2 b2 a c22|AB|BF| 2 5 12 a2 1 5 12 2a22|AB|BF| 0， 5 32 5 32 a22|AB|BF|ABF 90，选 C.二、填空题7一椭圆的短半轴长是 2 ，离心率是 ，焦点为 F1，F 2，弦 AB 过 F1，则ABF 2 的213周长为_答案 12解析 离心率是 ，a3c，13又有 a2c 2b 28，(3c) 2c 28 c 21，a 29，易知ABF 2 的周长为 4a，周长为 12.8已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G 的32两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_
4、答案 1x236 y29解析 考查椭圆的定义与标准方程设椭圆 G 的标准方程为 1 ( ab0)，半焦距为 c，则x2a2 y2b2Error!，Error!，b 2a 2c 236279，椭圆 G 的方程为 1.x236 y29三、解答题9设椭圆方程为 1(a b0)，短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F 2 组成的三角x2a2 y2b2形的周长为 42 ，且F 1BF2 ，求椭圆方程323解析 由题意知Error!Error!Error!b 2a 2c 21，椭圆方程为 y 21.x24一、选择题1设椭圆 1(ab0)的离心率为 e ，右焦点为 F(c,0)，方程 ax2bxc0x2a2
5、 y2b2 12的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x 2)的位置( )A必在圆 x2y 22 内 B必在圆 x2y 22 上C必在圆 x2 y22 外 D以上三种情形都有可能答案 A解析 由 e 知 ，a 2c.由 a2b 2c 2 得 b c，代入 ax2bx c0，得12 ca 12 32cx2 cxc0，即 2x2 x10，则 x1x 2 ，x 1x2 ，x x (x 1x 2)3 332 12 21 222x 1x2 b0)上的一点，F 1、F 2 是椭圆的焦点，且F 1PF290 ，x2a2 y2b2求证：椭圆的圆心率 e .22证明 证法一：P 是椭圆上的点， F1
6、、F 2 是焦点，由椭圆的定义，得|PF1| PF2|2 a， 在 Rt F1PF2 中， |PF1|2|PF 2|2| F1F2|2(2c) 24c 2，由 2，得|PF 1|22| PF1|PF2| |PF2|24a 2，|PF 1|PF2| 2(a2c 2)， 由和，知|PF 1|，| PF2|是方程 z22az2( a2c 2)0 的两根，且两根均在(ac， ac) 之间令 f(z)z 22az2(a 2c 2)则Error!可得( )2 ，即 e .ca 12 22证法二：由题意知 cb，c 2b 2a 2c 2， ，故 e .c2a2 12 228过椭圆 1 内一点 M(2,1)的
7、一条直线与椭圆交于 A，B 两点，如果弦 AB 被x216 y24M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由解析 设所求直线存在，方程 y1k (x2) ，代入椭圆方程并整理，得 (4k21)x28(2 k2k) x4(2 k21) 2 160.设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x1，x 2 是方程的两根，所以 x1x 2 .又 M 为 AB 的中点，所以 82k2 k4k2 1 x1 x222，解得 k .又 k 时，使得式 0，故这样的直线存在，直线方程为42k2 k4k2 1 12 12x2y40.9已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解析 解法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，由题意得Error!椭圆方程为 y 21.x29若椭圆的焦点在 y 轴上，由题意得Error!椭圆方程为 1.y281 x29综上所述，椭圆方程为 y 21 或 1.x29 y281 x29解法二：设椭圆方程为 1(m0 ，n0，mn) ，x2m y2n由题意得Error!或Error!解得Error!或Error!椭圆方程为 y 21 或 1.x29 y281 x29
