1、1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1了解定积分的概念，会用定义求定积分2理解定积分的几何意义3掌握定积分的基本性质 概念一般地，如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点a x00， f( i)0，故b anf( i) 0.从而定积分 f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即b an ba f(x)dx S.ba当 f(x)在区间 a， b上有正有负时，定积分 f(x)dx 表示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线bax a， x b(a b)之间各部分面积的代数和(在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负)(如图)，即 f(x)dx S1 S2 S3.ba例
2、 2 利用几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2) (3x1)d x.3 39 x2 3 1解 (1)在平面上 y 表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆，9 x2其面积为 S 3 2.12由定积分的几何意义知 dx .3 39 x292(2)由直线 x1， x3， y0，以及 y3 x1 所围成的图形，如图所示： (3x1)d x 表示由直线 x1， x3， y0 以及 y3 x1 所围成的3 1图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积， (3x1)d x (3 )(331) ( 1)2 16.3 112 13 12 13 503 23反思与感悟 利用几何意义求定积分
3、，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx；(2) cos xdx；(3) |x|dx.1 1 20 1 1解 (1)如图(1)， xdx A1 A10.1 1(2)如图(2)， cos xdx A1 A2 A30.20(3)如图(3)， A1 A2， |x|dx2 A12 1.1 112(A1， A2， A3分别表示图中相应各处面积)探究点三 定积分的性质思考 1 定积分的性质可作哪些推广？答 定积分的性质的推广 f1(x)f2(x)fn(x)d
4、x f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx；ba ba ba ba f(x)dx c1af(x)dx c2c1f(x)dx bcnf(x)dx(其中 nN *)ba思考 2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答 奇、偶函数在区间 a， a上的定积分若奇函数 y f(x)的图象在 a， a上连续不断，则 f(x)dx0.a a若偶函数 y g(x)的图象在 a， a上连续不断，则 g(x)dx2 g(x)dx.a a a0例 3 计算 ( x3)dx 的值3 3 9 x2解 如图，由定积分的几何意义得 dx ，3 39 x2 322 92 x3dx0，由定积分性质得3 3 (
5、 x3)dx dx x3dx .3 3 9 x2 3 39 x2 3 392反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练 3 已知 x3dx ， x3dx ， x2dx ， x2dx ，求：1014 21 154 21 73 42 563(1) 3x3dx；(2) 6x2dx；(3) (3x22 x3)dx.20 41 21解 (1) 3x3dx3 x3dx3( x3dx x3dx)20 20 10 213( )12；14 154(2) 6x2dx6 x2dx6( x2dx x2dx)6(
6、 )126；41 41 21 4273 563(3) (3x22 x3)dx 3x2dx 2x3dx21 21 213 x2dx2 x3dx3 2 7 .21 2173 154 152 121下列结论中成立的个数是( ) x3dx ；10ni 1i3n3 1n x3dx ；10 limn ni 1i 13n3 1n x3dx .10 limn ni 1i3n3 1nA0 B1 C2 D3答案 C解析 成立2定积分 f(x)dx 的大小( )baA与 f(x)和积分区间 a， b有关，与 i的取法无关B与 f(x)有关，与区间 a， b以及 i的取法无关C与 f(x)以及 i的取法有关，与区间
7、a， b无关D与 f(x)、积分区间 a， b和 i的取法都有关答案 A3根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： xdx_ x2dx；10 10 dx_ 2dx.204 x2 20答案 0baD若 f(x) 在 a， b上连续且 f(x)dx0，则 f(x)在 a， b上恒正 ba答案 D解析 对于 A， f( x) f(x)， f(x)dxa a f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx0，同理 B 正确；由定积分的几何意义知，0 a a0 a0 a0当 f(x)0 时， f(x)dx0 即 C 正确；但 f(x)dx0，不一定有 f(x)恒正，故选 D.ba ba2已知
8、定积分 f(x)dx8，且 f(x)为偶函数，则 f(x)dx 等于( )60 6 6A0 B16 C12 D8答案 B解析 偶函数图象关于 y 轴对称，故 f(x)dx2 f(x)dx16，故选 B.6 6 603已知 xdx2，则 xdx 等于( )t0 0 tA0 B2 C1 D2答案 D解析 f(x) x 在 t， t上是奇函数， xdx0.而 xdx xdx xdx，t t t t 0 t t0又 xdx2，t0 xdx2.故选 D.0 t4由曲线 y x24，直线 x0， x4 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A (x24)d x40B.| 40x2 4dx|C |x
9、24|d x40D (x24)d x (x24)d x20 42答案 C5设 a x dx， b x2dx， c x3dx，则 a， b， c 的大小关系是( )1013 10 10A cab B abcC a bc D acb答案 B解析 根据定积分的几何意义，易知 x3dxbc，故选 B.10 10 10136若 |56x|dx2 016，则正数 a 的最大值为( )a aA6 B56 C36 D2 016答案 A解析 由 |56x|dx56 |x|dx2 016，a a a a得 |x|dx36， |x|dx2 xdx a236，a a a a a0即 0a6.故正数 a 的最大值为 6
10、.7. ln 等于( )limn n1 1n21 2n21 nn2A ln2xdx B2 ln xdx21 21C2 ln(1 x)dx D ln2(1 x)dx21 21答案 B解析 ln limn n1 1n21 2n21 nn2 lnlimn 2n 1 1n1 2n1 nn2 2 ln xdx(这里 f(x)ln x，区间 1,2或者 2 limn n i 1ln1inn 21 lim n 2 ln(1 x)dx，区间 0,1) n i 1ln1 inn 10二、能力提升8由 ysin x， x0， x， y0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S_.答案 sin xdx0 解析 由定
11、积分的意义知，由 ysin x， x0， x ， y0 围成图形的面积为 Ssin xdx.0 9计算定积分 dx_.1 14 4x2答案 解析 由于 dx2 dx 表示单位圆的面积 ，所以 dx.1 14 4x2 1 11 x2 1 14 4x210设 f(x)是连续函数，若 f(x)dx1， f(x)dx 1，则 f(x)dx_.10 20 21答案 2解析 因为 f(x)dx f(x)dx f(x)dx，20 10 21所以 f(x)dx f(x)dx f(x)dx2.21 20 1011利用定积分的定义计算 ( x22 x)dx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么21解 令 f(x
12、) x22 x.(1)分割在区间 1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间 1,2等分为 n 个小区间 1 ，1 i 1n in(i1,2， n)，每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n(2)近似代替、求和取 i1 (i1,2， n)，则inSn f(1 ) x (1 )22(1 )n i 1 in n i 1 in in 1n (n1) 2( n2) 2( n3) 2(2 n)2 (n1)( n2)( n3)2 n1n3 2n2 1n32n2n 14n 16 nn 12n 16 2n2 nn 1 2n2 (2 )(4 ) (1 )(2 )3 .13 1n 1n 16 1n 1n 1
13、n(3)取极限 ( x22 x)dx Sn (2 )(4 ) (1 )(2 )3 ，21 limn lim n 13 1n 1n 16 1n 1n 1n 23 ( x22 x)dx 的几何意义为由直线 x1， x2， y0 与曲线 f(x) x22 x 所围成的2123曲边梯形的面积12用定积分的意义求下列各式的值：(1) (2x1)d x；(2) dx.30321 x2解 (1)在平面上， f(x)2 x1 为一条直线， (2x1)d x 表示直线 f(x) 2x1， x0， x3 与 x 轴围成的直角梯形 OABC 的面积，如图30(1)所示，其面积为 S (17)312.根据定积分的几何意义知12 (2x1)d x12.30(2)由 y 可知， x2 y21( y0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知 dx1 x2321 x2等于圆心角为 120的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和S 弓形 1 2 11sin ，12 23 12 23 3 34
