1、三 圆的切线的性质及判定定理1.直线 l 与O 相切于点 P,在经过点 P 的所有直线中,经过点 O 的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条解析:过 P 且垂直于 l 的直线仅有 1 条,此时点 O 在该垂线上,故选 A.答案:A2.如图,PA 为O 的切线, A 为切点,PO 交O 于点 B,PA=4,OA=3,则 cosAPO 的值为( )A. B. C. D.解析:PA 为O 的切线,OA PA.OP= =5.在 RtOAP 中,cosAPO= .答案:C3.如图所示,AB 与O 切于点 B,AO=6 cm,AB=4 cm,则O 的半径 r 等于( )A.4 cm
2、B.2 cm C.2 cmD. cm解析:如图,连接 OB,则 OB=r 且 OBAB,故 OB=r= =2 (cm).答案:B4.如图所示,AC 与O 相切于点 D,AO 的延长线交O 于 B,且 BC 与O 相切于B,AD=DC,则 等于( )A.2 B.1 C. D.解析:如图所示,连接 OD,OC.AC,BC 是切线,ODAC,OBBC.又 AD=DC,OAC 是等腰三角形.OA=OC.A=OCD.又 OC=OC,OD=OB,OBC ODC.OCD=OCB.BCA=2A.A+BCA=3A= 90.A=30. =2.答案:A5.如图,PB 与O 相切于点 B,OP 交O 于 A,BCOP
3、 于 C,OA=3,OP=4,则 AC 等于( )A. B.C. D.不确定解析:如图,连接 OB,则 OBPB ,OB=OA=3.又 BCOP,在 RtOBP 中,有 OB2=OCOP.OC= .AC=OA-OC=3- .答案:A6.如图,I 是ABC 的内切圆,与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,若DEF=50,则A= .解析:连接 DI,FI.DEF=50,DIF=100.又AD ,AF 为I 的切线,DI AD,FIAF.ADI=AFI= 90.在四边形 ADIF 中,A= 360-ADI-AFI-DIF=360-90-90-100=80.答案:807.如图,AB,AC 是
4、O 的两条切线,切点分别为 B,C,D 是O 上一点,已知BAC= 80,那么BDC= . 解析:AB,AC 是O 的切线,OB AB,OCAC.ABO+ ACO=180.BAC+BOC=180.又BAC=80, BOC=100.BDC= BOC=50.答案:508.在 RtABC 中,ACCB,AB=12,AC=6,以 C 为圆心,作与 AB 相切的圆 C,求C 的半径r.解:如图,设切点为 D,连接 CD,则 CDAB ,CD=r.ACCB,CD 2=ADBD.又 AB=12,AC=6,AC2=ADAB,AD= =3.BD=AB-AD=12- 3=9.CD 2=39=27,CD= 3 .9
5、.如图,已知两个同心圆 O,大圆的直径 AB 交小圆于 C,D,大圆的弦 EF 切小圆于 C,ED 交小圆于 G.若小圆的半径为 2,EF=4 ,试求 EG 的长 .解:如图,连接 GC.CD 为小圆的直径,GCED.EF 切小圆于 C,EF OC.在大圆中,EC= EF= 4 =2 .在 RtDEC 中,ED= =2 .EFDC,GCED,由直角三角形的射影定理可知,EC 2=EGED.EG= .10.如图,O 内切于ABC 的边于点 D,E,F,AB=AC,连接 AD 交O 于点 H,直线 HF 交BC 的延长线于点 G.(1)求证:圆心 O 在 AD 上;(2)求证:CD=CG;(3)若
6、 AHAF=34,CG=10,求 HF 的长.(1)证明:由题意知 AE=AF,CF=CD,BD=BE,而 AB=AC,CD=CF=BE=BD.D 为 BC 中点,AD 是 BAC 的平分线,圆心 O 在 AD 上.(2)证明:连接 DF.O 在 AD 上,DH 为直径,DFH=90 .CF=CD, CFD=FDC,G=90-FDC=90 -CFD= CFG,CG=CF, CG=CD.(3)解:AFH=90 -CFD=90-FDC= FDA,又FAD 为公共角 ,则 AHFAFD. .在 RtHFD 中,FHFDDH= 345.HDFDGF,DF GF DG=345.又CG= 10, GD=20.DF=320 =12,FH= FD=9.
