1、2018 年漳州市高三毕业班 5月质量检查测试文科数学一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 满足 的集合 的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：先分析集合 中一定含有 ，另外还至少包含 中的一个，再列举得到答案详解：由题意，得或或 .故选 C点睛：本题考查集合间的关系、元素和集合的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力2. 复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求
2、解详解：因为 ，所以该复数对应的点 在第一象限点睛：本题考查复数的几何意义、复数的四则运算等知识，意在考查学生的基本计算能力3. 已知函数 是定义在 R 上的周期为 6的奇函数，且满足 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用周期性求出 ，利用周期性和奇偶性求出 详解：由题意，得：，则 点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性等知识，意在考查学生的数学转化能力的应用4. 漳州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁 4名志愿者，随机安排 2人到 A展区，另 2人到 B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到 A展区的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先分析总的基本事
3、件数和“甲、乙两人同时被安排到 A展区”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式进行求解详解：随机安排 2人到 A展区，另 2人到 B展区维持秩序，有 种不同的方法，其中甲、乙两人同时被安排到 A展区，有 种方法，则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人同时被安排到 A展区的概率为 点睛：本题考查组合应用题、古典概型等知识，意在考查学生的数学分析能力5. 已知等差数列 的前 项和为 若 ， ，则A. 35 B. 42 C. 49 D. 63【答案】B【解析】分析：可利用“若等差数列 的前 项和为 ，则 、 、 、 成等差数列”进行求解详解：在等差数列 中，、 、 成等差数列，即 7、14、 成
4、等差数列，所以 ，解得 点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列 的前 项和为 ，且 ，则若 ，则 ； 、 、 、 成等差数列6. 已知实数 满足 则 的最大值为A. 1 B. 11 C. 13 D. 17【答案】C【解析】分析：作出可行域和目标函数基准直线，通过平移直线确定最优解，再联立方程求出最优解和最值详解：令 ，将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 （如图所示） ，当直线 向右上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，即增大，由图象，得当直线 过点 时，取得最大值，联立 ，得 ，此时，取得最大值 点睛：本题考查简单的线性规划问题等知识，意在考查
5、学生的数形结合思想的应用和基本计算能力7. 为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】D【解析】分析：先利用二倍角公式化简两个函数解析式，再用诱导公式化为同名函数，再利用图象平移进行判定详解：因为，且 ，所以为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位长度点睛：本题考查二倍角公式、三角函数的图象变换等知识，意在考查学生的数学化简运算能力和逻辑思维能力8. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】分析：根据程
6、序框图依次写出循环体的运行结果即可详解：由程序框图，得：，结束循环，输出的值为 4点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力9. 如图，网格纸的小正方形的边长是 ，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据三视图判定出该组合体的结构特征，再利用柱体、锥体的体积公式进行求解详解：由三视图可知该组合体是由一个圆柱的 和一个四棱锥组合而成，其中圆柱的底面半径为 2，母线长为 2，四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高为 2，所以该组合
7、体的体积为点睛：本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力10. 函数 的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项 C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项 B详解：易知 的定义域为 ，且，即函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项 C、D；又 ，故排除选项 B，故选 A点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则） 、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数
8、法） 、特殊点对应的函数值等11. 在直三棱柱 中， ， ， ， ，则其外接球与内切球的表面积之比为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先利用勾股定理判定底面为直角三角形，进而利用直棱柱的结构特征确定三棱柱的外接球和内切球的球心，进而求出各自半径，再利用球的表面积公式进行求解详解：分别取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，由题意，得 ，即 为直角三角形，则点 为外接球的球心， 为半径，则 ；作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径是内切球的半径，即 ；因为 ，则其外接球与内切球的表面积之比为 图 1 图 2点睛：在处理多面体和
9、球的外接或内切问题时，往往先利用三角形和圆的外接或内切问题，充分体现了“立体几何平面化”的化归思想，如本题中，利用直角三角形的斜边的中点是外接圆的圆心确定外接球的球心位置，利用直角三角形的内切圆的半径为 （为斜边）类比到三棱柱的内切球的半径12. 已知直线 与椭圆 交于 、 两点，与圆 交于 、两点若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据直线的方程判定该直线过定点 ，且该点是圆 的圆心，再利用 判定点是线段 的中点，再利用点差法进行求解详解：将 化为 ，即直线恒过定点 ，且该点为圆 的圆心，由 ，得 是 的中点，设 ，则 ，且 ，作差
10、，得 ，即 ，即 ， 点睛：1.判定直线 过定点 的方法：法一：化为点斜式方程 ；法二：分别令 ，得 ，解得 ；法三：化为 ，则 ；2.在处理圆锥曲线的中点弦问题时，利用点差法，可减少运算量，提高解题速度 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。13. 已知 ， ，若 ，则与 的夹角为_【答案】【解析】分析：先利用平面向量的线性运算和垂直的条件（数量积为 0）求出值，再利用平面向量的夹角公式进行求解详解：由题意，得 ，则 ，解得 ，设与 的夹角为，则 ，又 ，所以 ，即与 的夹角为 点睛：本题以平面向量的坐标形式为载体考查平面向量的线性运算、数量积等知识，意在考查学生的逻辑思维能
11、力和基本计算能力14. 已知双曲线的渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，则双曲线的方程为_.【答案】【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数详解：将 化为 ，设以 为渐近线的双曲线方程为 ，又因为该双曲线的焦点为 ，所以 ，解得 ，即双曲线方程为 点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：双曲线 的渐近线方程可设为 ；以直线 为渐近线的双曲线方程可设为 15. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程为_.【答案】【解析】分析：先利用函数的奇偶性求出函数 在区间
12、 的解析式，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程详解：设 ，则 ，所以 ，因为函数 为奇函数，所以 ，则 ，又 ，则切线方程为 ，即 点睛：本题考查函数的奇偶性的应用、导数的几何意义等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 的长度为，在线段 上取两个点 ， ，使得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图 2中的图
13、形；对图 2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图 3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第 个图形（图 1为第 1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：数列 是等比数列；数列 是递增数列；存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；存在最大的正数，使得对任意的正整数 ，都有 其中真命题的序号是_（请写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】分析：通过分析图 1 到图 4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质详解：由题意，得图 1 中的线段为， ，图 2 中的正六边形的边长为 ，图 3 中的最小正六边形的边长为 ，图 4 中的最小正六边形的边长为 ，由此
14、类推， ，即 为递增数列，但不是等比数列，即错误， 正确；因为，即存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ，即正确，错误；故填点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想三解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17. 在 中， ， .（1 ） 求证： 是直角三角形；（2）若点 在 边上，且 ，求 【答案】 （1）直角三角形；（2）【解析】
15、分析：（1）先利用余弦定理得到 的值，再利用勾股定理进行证明；（2 ）先利用诱导公式和两角和的正弦公式求出相关角的正弦值，再利用正弦定理进行求解详解：（1）在 中， ， ， ，由余弦定理，得所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 是直角三角形 （2）设 ，则 ， ， ，所以 ， 在 中， ， 由正弦定理得， ，所以点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式等知识，意在考查学生的数学分析能力和基本计算能力18. 如图 1所示，在梯形 中， / ，且 ， ，分别延长两腰交于点 ，点 为线段上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2所示（1）求证： ；（2）若 ， ，四棱锥 的
16、体积为 ，求四棱锥 的表面积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解 详解：（1）因为 C90，即 AC BC，且 DE BC，所以 DEAC，则 DEDC，DEDA 1，又因为 DC DA1 D，所以 DE平面 A1DC.因为 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F. 又因为 A1F CD， CD DE D，所以 A1F平面 BCDE， 又因为 BE 平面 BCDE，所以 A1FBE （2）由已知 DE BC，且 DE BC，得
17、 D， E分别为 AC， AB的中点，在 Rt ABC中， ，则 A1E EB5， A1D DC4，则梯形 BCDE 的面积 S1 (63)4 18 ， 四棱锥 A1BCDE 的体积为 V 18A1F12 ，即 A1F2 ， 在 Rt A1DF中， ，即 F是 CD的中点，所以 A1CA 1D4， 因为 DE BC， DE平面 A1DC，所以 BC平面 A1DC，所以 BCA1C，所以 ，在等腰A 1BE 中，底边 A1B 上的高为 ， 所以四棱锥 A1BCDE 的表面积为 SS 1 18 34 42 64 2 2 36 4 2 点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，
18、意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力19. 某公司计划购买 1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用 200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次 50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用 500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数 8 9 10 11 12频数 10 20 30 30 10记 x 表示 1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示 1
19、台机器在维修上所需的费用（单位：元） ， 表示购机的同时购买的维修服务次数.（1）若 =10，求 y 与 x 的函数解析式；（2 ）若要求“维修次数不大于 ”的频率不小于 0.8，求 n 的最小值；（3）假设这 100台机器在购机的同时每台都购买 10 次维修服务，或每台都购买 11次维修服务，分别计算这 100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1台机器的同时应购买 10 次还是 11次维修服务？【答案】 （1） ；（2 ）见解析；（3）10 次.【解析】分析：（1）根据题意写出分段函数即可 ；（2 ） 计算出“维修次数不大于 10或 11次”的频率，再比较得到答案；（3
20、）利用表格得到费用的所有可能取值及相应频率，再利用平均数公式进行求解，再比较两个平均数即可详解：（1）即 （2 ）因为 “维修次数不大于 ”的频率 ，“维修次数不大于 ”的频率= ， 所以若要求“维修次数不大于 ”的频率不小于 0.8，则 n 的最小值为 11 （3 ）若每台都购买 10 次维修服务，则有下表：维修次数 x 8 9 10 11 12频数 10 20 30 30 10费用 y 2400 2450 2500 3000 3500此时这 100台机器在维修上所需费用的平均数为2730（元）若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：维修次数 x 8 9 10 11 12频数 10 20
21、30 30 10费用 y 2600 2650 2700 2750 3250此时这 100台机器在维修上所需费用的平均数为2750（元）因为 ，所以购买 1台机器的同时应购买 10 次维修服务点睛：本题考查数学建模思想、变量的平均值等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计算能力20. 已知抛物线 ，且 ， ， 三点中恰有两点在抛物线 上，另一点是抛物线 的焦点（1 ）求证： 、 、 三点共线；（2 ）若直线过抛物线 的焦点且与抛物线 交于 、 两点，点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，求 的最小值【答案】 （1）见解析；（2）8.【解析】分析：（1）先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置
22、，再确定三点坐标，利用两直线的斜率相等判定三点共线；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、基本不等式进行求解详解：（1）由条件，可知 ， 在抛物线 上， 是抛物线 的焦点所以 解得 所以 ， ， ，所以 ， ，所以 ，所以 、 、 三点共线 （2 ）由条件可知 ，可设 ，代入 ，得 ， ，解得 设 ， ，则 ，所以 ， 当且仅当 ，即 或 时，点睛：1.证明三点 共线的主要方法有：转化为两直线的斜率相等，即 ；转化为两个向量共线，即 ;2.在研究直线和抛物线 的位置关系时，往往设直线方程为 ，避免讨论直线斜率不存在的情况21. 已知函数 .（
23、1）若 ，求函数 的极值点； （2）若 ，函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）求出函数的定义域和导数，通过讨论判别式的符号，研究导数的符号变化，进而研究函数的单调性和极值；（2） 由（1）及条件得到 的关系，作差构造函数，利用导数的符号变化确定函数的单调性和最值详解：（1） 的定义域为 ， ， 若 ，则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 无极值点若 ，则 ，由 得 ， .当 的值变化时， ， 的值的变化情况如下：+ 0 - 0 +极大值 极小值所以 有极大值点 ，极小值点 （2）由（1）及条件可知， 且 , ,即 , ，
24、所以 ,记 , ，因为当 时， ，所以 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，即 .点睛：1.在研究函数的性质时，不要忽视求函数的定义域，即“定义域优先原则” ；2.分类讨论思想是数学中一种常见的数学思想，也是学生难以掌握的思想之一，其关键是搞清“为什么要讨论” （如本题中求导后，一元二次函数的系数含有字母，则想到相应方程是否有根，根的大小关系如何）和“如何讨论” （如本题中要讨论判别式的符号和两根的大小关系） 22. 在直角坐标系 下，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为（为参数，且 ， ） 以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，常数 ，
25、曲线 与曲线 ， 的异于 的交点分别为 ， （1）求曲线 和曲线 的极坐标方程；（2）若 的最大值为 6，求的值【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）消参得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标和直角坐标方程的互化公式进行求解；（2 ） 利用极坐标方程写出 的表达式，求和，利用辅助角公式进行求解 详解：（1）由 得 ，即 ，所以 ，所以曲线 的极坐标方程为 曲线 的极坐标方程为 （2）由条件，有 ， ， 所以 ，其中 ， 因为 ，所以 ，所以当 时， 因为 的最大值为 6，所以 ，又 ，所以 点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的转化等知识，意在考查学生的转化能力和基本运算能力23. 设函数 （1 ）当 时,求不等式 的解集；（2 ）若 ，使得 成立，求实数的取值范围【答案】 （1） ；（2 ）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解 ；（2）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，分段求最值即可详解：（1）当 时， 或 或 或 或 或 ，所以原不等式解集为（2）因为 ，使得 成立，所以 ， 因为所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以实数 的取值范围 点睛：本题考查含绝对值不等式的解法、分段函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力
