1、23.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等 .2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识链接类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线 1 (a0，b0)的哪些几何性质？x2a2 y2b2答：(1)范围：xa 或 xa；(2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(a,0)，A 2(a,0)预习导引1双曲线的几何性质标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴
2、对称中心：原点顶点坐标 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab性质离心率 e ，e (1，)ca2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是 yx.要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y216x 2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解 把方程 9y216x 2144 化为标准方程 1.y242 x232由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3；c 5，焦点坐标是(0，5) ，(0,5)；a2 b2 42 32离心率 e ；渐近线方程为 y x.ca 54 43规律方法 讨
3、论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪演练 1 求双曲线 x23y 2120 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解 将方程 x23y 2120 化为标准方程 1，y24 x212a 24，b 212，a2，b2 ，c 4.3 a2 b2 16双曲线的实轴长 2a4，虚轴长 2b4 .3焦点坐标为 F1(0，4) ，F 2(0,4)，顶点坐标为 A1(0，2)，A 2(0,2)，渐近线方程为 y x，33离心率 e2.要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,
4、13) ，且离心率为 ；135(2)渐近线方程为 y x，且经过点 A(2，3)12解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又 ，ca 135a5，b 12，故其标准方程为 1.c2 a2y252 x2122(2)方法一 双曲线的渐近线方程为 y x，12若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 .x2a2 y2b2 ba 12A(2，3) 在双曲线上， 1.4a2 9b2由联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 .y2a2 x2b2 ab 12A(2，3) 在双曲线上， 1.9a2 4b2由联立，解得 a28
5、，b 232.所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232方法二 由双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线方程为 y 2 (0)，12 x222A(2，3) 在双曲线上， (3) 2，即 8.2222所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为 mx2ny 21 (mn0)，从而直接求得若已知双曲线的渐近线方程为 y x，还可以将方ba程设为 ( 0) ，避免讨论焦点的位置x2a2 y2b2跟踪演练 2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，
6、且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9 )，离心率 e ；2103(2)过点 P(2，1)，渐近线方程是 y3x .解 (1)e 2 ，得 ，设 a29k，109 c2a2 109则 c210k，b 2c 2a 2k(k0) 于是，设所求双曲线方程为 1，x29k y2k或 1，y29k x2k把(3,9 )代入 ，得 k161 与 k0 矛盾，无解；2把(3,9 )代入 ，得 k9，2故所求双曲线方程为 1.y281 x29(2)方法一 首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，1) 在渐近线 y3x 的上方还是下方如图所示，x2 与y3x 交点为 Q(2，6)，
7、P(2，1)在 Q(2，6) 的上方，所以焦点在x 轴上设双曲线方程为 1 (a 0，b0)x2a2 y2b2依题意，得Error!解得Error!所求双曲线方程为 1.x2359 y235方法二 由渐近线方程 y3x ，可设所求双曲线方程为 x2 (0) ，(*)y29将点 P(2，1)代入(*)，得 ，359所求双曲线方程为 1.x2359 y235要点三 直线与双曲线的位置关系例 3 直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求 l 的方程x23 y22解 设直线 l 的方程为 y2xm，由Error!得 10x212mx3(m 22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于
8、A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得 x1x 2 m，x 1x2 (m22) 65 310又 y12x 1m，y 22x 2m，y 1y 22(x 1x 2)，AB 2(x 1x 2)2(y 1y 2)25( x1x 2)25(x 1x 2)2 4x1x25 m24 (m22)3625 310AB4， m26( m22) 16.3653m 270，m .2103由(*)式得 24m 2240，把 m 代入上式，得 0，2103m 的值为 .2103所求 l 的方程为 y2x .2103规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于 x
9、 或y 的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解跟踪演练 3 设双曲线 C： y 21( a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A、B.x2a2(1)求实数 a 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若 ，求 a 的值PA 512PB 解 (1)将 yx1 代入双曲线方程 y 21(a0)得(1a 2)x22a 2x2a 20.x2a2依题意Error!所以 00，解得 a .2a21 a2 28960 17131双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_x24 y212答案 2 3解析
10、 双曲线 1 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y x，点 F 到x24 y212 3x y0 的距离为 2 .3432 32双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为_答案 14解析 由双曲线方程 mx2y 21，知 m0，b0)的右支上到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点有两个，则x2a2 y2b2双曲线的离心率的取值范围是_答案 (2，)解析 由于到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点在线段 OF 的垂直平分线上，其方程为 x .c2依题意，在双曲线 1 (a0 ，b0)的右支上到原点和右焦点距离相x2a2 y2b2等的点有两个，所以直线 x 与
11、右支有两个交点，故应满足 a，即 2，得 e2.c2 c2 ca4已知双曲线 C： 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为x2a2 y2b2_答案 1x220 y25解析 双曲线 C 的渐近线方程为 0 及点 P(2,1)在渐近线上， 0，即x2a2 y2b2 4a2 1b2a24b 2，又 a2b 2c 225，解得 b25，a 220.1.渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程 1 (a0，b0)x2a2 y2b2右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程反之由渐近线方程 axby0 变为 a2x2b 2y2 ，再结合其他条件求得 就可得
12、双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形一、基础达标1双曲线 2x2y 28 的实轴长是_答案 4解析 2x 2y 28 可变形为 1，则 a24，a2,2a4.x24 y282双曲线 3x2y 23 的渐近线方程是_答案 y x3解析 双曲线方程可化为标准形式： 1，x21 y23a1，b ，3双曲线的渐近线方程为 y x.33已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0) ，(4,0)，则双曲线的方程为_答案 1x24 y212
13、解析 依题意焦点在 x 轴上，c4， 2，a2.cab2c 2a 212.故方程为 1.x24 y2124已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则双曲线 C 的方程是32_答案 1x24 y25解析 依题意得 c3，e ，所以 a2，从而 a24，b 2c 2a 25.故方程为 1.32 x24 y255双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F 2，过 F1 作倾斜角为 30的直线，x2a2 y2b2交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为 _答案 3解析 如图，在 RtMF 1F2 中，MF 1F230.又 F1F22
14、c，MF 1 c，2ccos30 433MF22ctan30 c.2332aMF 1MF 2 c.233e .ca 36已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为_x2a2 y2b2 52答案 y x12解析 已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，故有 ，所以 ，解x2a2 y2b2 52 a2 b2a2 54 b2a2 14得 .故 C 的渐近线方程为 y x.ba 12 127根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线 1 有共同的渐近线，且过点(3，2 )；x29 y216 3(2)F1、 F2 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F 1
15、PF260，SPF 1F212 ，3其离心率为 2.解 (1)设所求双曲线方程为 (0)，x29 y216将点(3,2 )代入得 ，314所以双曲线方程为 ，即 1.x29 y216 14 4x29 y24(2)设双曲线方程为 1( a0，b0)x2a2 y2b2因为 F1F22c，而 e 2.ca由双曲线的定义，得|PF1PF 2|2ac .由余弦定理，得(2c)2PF PF 2PF 1PF2cosF 1PF221 2(PF 1PF 2)22PF 1PF2(1cos60)，化简，得 4c2c 2PF 1PF2.又 SPF 1F2 PF1PF2sin6012 .12 3所以 PF1PF248.
16、即 3c348，c 216，得 a24，b 212.故所求双曲线的方程为 1.x24 y212二、能力提升8已知圆 C 过双曲线 1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双x29 y216曲线中心的距离是_答案 163解析 由双曲线的几何性质，易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆 C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4， )或( 4， )易求得它到双曲线中心的距离为 .473 473 1639双曲线 1 的离心率 e(1,2) ，则 k 的取值范围是_x24 y2k答案 (12,0)解析 双曲线方程可变为 1，则 a24，b 2k，c 24k ，e ，x24 y2
17、k ca 4 k2又e(1,2)，则 1 ，即 2.m 4.x24 y2m 2 4 m411已知双曲线 3x2y 23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A、B 两点，试问 A、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长解 双曲线方程可化为 1，x21 y23c2a 2b 24，c 2.F 2(2,0)，又 l 的斜率为 1.直线 l 的方程为 yx2，代入双曲线方程，得 2x24x70.设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，x 1x2 0，b0)，x2a2 y2b2Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.x236 y212当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1 (a 0，b0)，y2a2 x2b2Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.y212 x236
