1、第 1 页 共 18 页2019 届北京市第八十中学高三 10 月月考数学（文）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 AB（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用集合运算法则中的并集运算求解.【详解】，选 .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属简单题.2若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】先计算 ，再根据复数所在的象限来限制复数实部和虚部，进而求出结果.【详解】，复数在复平面内对应的点在第二象限，则 ，解得 ，选 .【点睛】本题考查复数的概念与几何意义.关于复数问题通常都是将其化为标准式再结合题意求解.3已知
2、向量 ， ， .若 ，则实数 m 的值为（ ）第 2 页 共 18 页A B C D 【答案】B【解析】【分析】先求出 ，再由共线向量定理的坐标表示求出结果.【详解】， ，则 .因为 ， ， ， .选 .【点睛】向量 与非零向量 共线的充分必要条件是存在 使得 ,其坐标表示为 .要注意区分两向量垂直的公式，此处容易记混淆.4执行如图所示的程序框图，若输入的 A，S 分别为 0，1，则输出的 S（ ）A 4 B 16 C 27 D 36【答案】D【解析】【分析】按流程图依次计算每次循环得到的 的值，当 时退出循环即可.【详解】第 3 页 共 18 页;. 成立，结束运算.故 .选 .【点睛】关于
3、算法与程序框图题目首先要弄清算法，然后只需要按照框图的流程线逐次计算，计算过程中要注意判断框的条件限制.5数列 的前 n 项和为 ，若 ，且 ，则 的值为（ ）A 0 B 1 C 3 D 5【答案】A【解析】【分析】先由 求出 ，再将 代入 求 .【详解】，则 . ., .选 .【点睛】注意递推关系中 这个条件，避免由 求 导致失误.6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A B C D 第 4 页 共 18 页【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥 ，如下图：,所以最长边为 ，选 C.7设函数 ，则“ ”是“函数 在 上存在零点”的12logfxxa1,5fx2,8( )A 充分不
4、必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要【答案】C【解析】 ，函数 在 上单调递增；12,80ln2xfx fx2,8时， ，所以函数 在1,5a,830fafafx上存在零点；若函数 在 上存在零点，则28fx，因此“ ”是“函数 在 上存在零0,15ff1,5fx2,8点”的充要条件，选 C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如pqp“ ”为真，则 是 的充分条件pq2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非qpq的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若
5、，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则ABBAAB是 的充要条件B第 5 页 共 18 页8某运动队对 A，B，C，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”，乙说：“是 B 参加比赛”，丙说：“ 是 A，D 都未参加比赛 ”，丁说：“是 C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是（ ）A A B B C C D D【答案】B【解析】【分析】依次假设参赛运动员是 A，B，C，D，判断甲、乙、丙、丁说法的正确性即可.【详解】运动员教练A B C D甲 乙 丙
6、丁 若 A 参加比赛，则甲、乙、丙、丁四位教练说话都不正确；若 B 参加比赛，则乙、丙两位教练说话正确，符合题意；若 C 参加比赛，则甲、丙、丁三位教练说话正确；若 D 参加比赛，则只有甲教练说话正确.依题意可知 B 参加比赛.选 B.【点睛】通过表格来理清关系可使复杂的逻辑推理变的直观简单化.二、填空题9若“ ”是真命题,则实数 的最小值为 _.0,tan4xxmm【答案】 1第 6 页 共 18 页【解析】当 ， ，0,4xtan0,1x 1m即 的最小值为 点睛：不等式的恒成立问题，往往转化为最值问题，即 恒成立 fxa， 恒成立 .maxffminafx10 ， ， 三个数中最大的数是
7、 32122log5【答案】 l【解析】试题分析： ， ， ，所以最大的数是 2log5【考点】指数与对数11将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，若 ， 的图像都经过点 ，则 的值为_.【答案】 .【解析】【分析】由 ， 的图像都经过点 可得 . 平移后得到 , 过点,带点即可求 .【详解】由题意可得 ;的图像都经过点 , ,则 ， .则 ，第 7 页 共 18 页的图像都经过点 ,则 ，所以 或 ，解得 或 .因为 ，所以 .【点睛】本题考查三角函数图形变换以及三角函数求值属中档题.三角函数求值要注意函数周期性，以及一个周期内对应值的个数，本题解题很多学生会漏掉 ，或者忽略
8、 所对应的值有两个，导致解题失误.12已知 是顶点为 腰长为 的等腰直角三角形， 为平面 内一点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】以 所在直线为 轴建立坐标系，设 ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出 关于 的表达式，配方即可得出结论【详解】以 所在直线为 轴，以 边上的高为 轴建立坐标系，是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 为直角顶点，斜边 ，则 设 ，则第 8 页 共 18 页当 时， 取得最小值-1故答案为：-1【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题13已知锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c-a
9、=2acosB，则的取值范围是_【答案】【解析】c a=2acosB，由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinBsinAcosB=sinA ，即：sin（B A）=sinA，A，B 为锐角，可得：BA=A，可得：B=2A（0， ），A（0， ），又 C=3A（0， ） ，可得：A（ ， ），综上，可得 A（ ， ） ，可得： sinA（ ， ）， =sinA（ ， ）故答案为： .14设函数若 a1 ，则 的最小值为 _；若 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_.第 9 页 共 18
10、页【答案】-1; .【解析】【分析】(1)将 代入解析式再分段求最值，取两段中较小的值即可.（2）通过分类讨论 的取值，分段判断函数零点情况.【详解】（1） 代入解析式得当 时， ，即当 时， ,函数的对称轴为 ,故 .综上可得 的最小值为 .（2）当 时， 在 上有两个零点，要使 恰有 2 个零点，则 ，故 .当 时，要使 恰有 2 个零点，则 ,解得 .综上，【点睛】本题主要考查函数的概念和性质以及函数方程，分段函数求最值要分段求解并取各段中最值比较再得最值，函数零点问题可借助函数的图象特征结合函数性质来分析解题思路.15已知函数 为自然对数的底数.21,2.718xfeabRe（1 ）设
11、 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；ggx0,（2 ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围.0ffx0,a【答案】 （1）当 时，最小值是 ，当 时，最小值是2a1b2e第 10 页 共 18 页，当 时，最小值是 ；（2） .2lnab2eaeab,1e【解析】试题分析：（1）求出 的导数得 ，在求出 的导数，分类讨论，fxgxgx从而判断 的单调性，求出 的最小值；（2）利用等价转换，若函数 在gxg fx区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间，所以 在0, fx0,1g上应有两个不同的零点.1试题解析：（1）由 ,有 ，2xfeab2xgxfeab，因此
12、，当 时， .2xgea0,11,当 时， ， 在 单调递增，因此 在 上的最小值agxx0,1是 ；01b当 时， ， 在 单调递减，因此 在 上的最小值是2e0gxx0,1gx,；当 时，令 ，得 ，a2eagln201a函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. x,ln0,于是， 在 上的最小值是 .g01ln2lab综上所述，当 时， 在 上的最小值是 .2agx0,11g当 时， 在 上的最小值是 .12e, l2lna当 时， 在 上的最小值是 .xeb（2）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，0f0,10ffx在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减，则 不可能恒为
13、正，fx0,x g也不可能恒为负. 故 在区间 内存g0,x在零点 .同理 在区间 内存在零点 .1x12在区间 内至少有两个零点.g0,由(1) 知，当 时， 在 单调递增，故 在 内至多有一个零点.2agx0,gx0,1当 时， 在 单调递减，故 在 内至多有一个零点.e,1,第 11 页 共 18 页时，此时 在区间 上单调递减，在区间 上单12eagx0,ln2aln2,1a调递增.因此， 必有120,ln,l,1x.0gbgeab由 有 ,有 .f1a20gae，解得 .12e21e当 时， 在区间 内有最小值 .gx0,lng若 ，则 ，从而 在区间 单调递增，ln0gafx0,1
14、这与 矛盾， ，又1ffln2a，2,0eg故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .gx0lnal,11x2由此可知， 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递增，f,x2x,故 在 内有零点.120fxfff12,x综上可知， 的取值范围 .a,1e【考点】函数的零点；利用导数研究函数的单调性与极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了分类讨论思想、等价转换思想、函数的零点的概念等知识，是一道导数的综合性试题，试题有一定的难度，属于难题，本题第二问的解答中，利用等价转换，若函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区f
15、x0,1fx0,1间，得 在 上应有两个不同的零点，即可求解 的取值范围.g a三、解答题16已知函数 .（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值.第 12 页 共 18 页【答案】 （1） .（2）最大值为 ，最小值为 .【解析】【分析】（1）函数 化简为 ，用 求最小正周期.（2）先求 在区间 上的取值范围，再求 的范围，进而求得结果.【详解】（1）, 的最小正周期为 .（2） , ,则 ， .在区间 上的最大值和最小值分别为 和 .【点睛】三角函数中求周期，单调性，最值等问题通常通过三角恒等变换将题设式子变为的形式，再利用公式求周期，通过整体代换求最值.17在 中，内角
16、A，B ， C 所对的边分别为 a，b ，c. 已知 .（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b 和 的值.第 13 页 共 18 页【答案】() ；() .【解析】分析：（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则（2）在 中，由余弦定理可得 结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（1）在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由，得 ，即 ，可得 又因为，可得 B= （2）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，有 ，故 b= 由 ，可得 因为 ac，故 因此， 所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关
17、系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18在四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE 为菱形，侧面 ABE 为等边三角形，且侧面 ABE底面 BCDE，O，F 分别为 BE，DE 的中点.第 14 页 共 18 页（）求证：AOCD ；（）求证：平面 AOF平面 ACE；（）侧棱 AC 上是否存在点 P，使得 BP 平面 AOF？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 为 上靠近 点的三等分点时， ；【解析】【分析】（1）由等边三角形得到
18、，再由面面垂直的性质得到 ,继而得到.（2）由 得 ，又由菱形的性质得 ，由中位线性质 ，故，进而得到 .（3）设 与 的交点分别为 ,连接 ，当 时， ，即只需要 .【详解】（1）证明： 为等边三角形, 是 的中点， .面 面 ，面 面, ， ,第 15 页 共 18 页.(2)连接 .面 面 ，面 面又由（1）有 ， , ， ，则 .底边 是菱形, ,又 分别是 的中点， , .又 是平面 内的两条相交直线， .又 ， .（3）当 为 上靠近 点的三等分点时， .证明如下：设 与 的交点分别为 ,连接 ,底边 是菱形, 分别是 的中点, .又 为 上靠近 点的三等分点， . .即又 , ,
19、 .侧棱 上存在 ，使得 ，且 .【点睛】证明垂直和平行问题常常涉及到线线，线面，面面相互之间的转化，故熟练掌握线面、面面垂直与平行的判断和性质是本题解题的关键.空间几何中的存在性问题一般先假设写出结论，再加以证明.19已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，且 ，数列 是公比大于零的等比数列，且 .（）求数列 和 的通项公式；第 16 页 共 18 页（）记 ，求数列 的前 n 项和 .【答案】(1) ， .（2） .【解析】【分析】（1）由递推关系化简变形得 ，即数列 是公差为 的等差数列，根据等差数列的通项公式求 ，进而可求 ，根据等比数列公式求得公比，进而求 .【详解】（1）由 ,
20、有 ，则 ,化简得 .故 .则数列 是公差为 的等差数列.当 时， ，则 .数列 各项均为正数， .,设数列 的公比为 ，则由 可得 .(2) .【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式以及等比数列的前 项和,应用 处理本题递推关系的 将其转化为 是本题解题的关键步骤.20已知函数 .（）当 时，求曲线 在点 处切线的方程；（）求函数 的单调区间；（）当 时， 恒成立，求 a 的取值范围 .【答案】 （1） .第 17 页 共 18 页（2） 时， 的单调增区间为 ；单调减区间为 和 ；时， 的单调增区间为 和 ；单调减区间为 .（3） .【解析】【分析】（1）求出函数 的导函数 ，代入 ，
21、求得 ，再求 ，利用直线方程的点斜式求解即可.（2）求出 ，通过讨论 的取值，分别求出 ， 所对应的区间即为函数的单调区间.（3）当 时 恒成立等价于 在 恒成立，令 ，由导数求出函数 的最大值，即可求得 的取值范围.【详解】（1） ，得 .当 时， ， ，即函数 在 处的切线斜率为 0.又 ,故曲线 在点 处切线的方程为 .(2) .,若 ，由 得 ；由 得 ，又 ，所以 在 上单调递增，在 和 上单调递减.若 ，由 得 ；由 得 ，又 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.综上所述， 时， 的单调增区间为 ；单调减区间为 和 .第 18 页 共 18 页时， 的单调增区间为 和 ；单调减区间为 .（3） 时， 恒成立,即 在 恒成立.令 ，则 .则 时， ； ， .在 上单调递减，在 上单调递增，则 .【点睛】本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性： ，则函数单调递增；，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤.
