1、22 向量的分解与向量的坐标运算 22.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识链接1如图所示，e 1，e 2 是两个不共线的向量，试用 e1，e 2 表示向量 ， ， ， ， ，a.AB CD EF GH HG 答 通过观察，可得：2e 13e 2， e 14e 2， 4e 14e 2，AB CD EF 2e 15 e2， 2e 15e 2，a2e 1.GH HG 20 能
2、不能作为基底？答 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底3平面向量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底预习导引1平面向量基本定理如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a 2，使 aa 1e1a 2e2.2基底把不共线向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 e1，e 2a 1e1a 2e2叫做向量 a 关于基底e 1，e 2的分解式3直线的向量参数方程式已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点( 如图所示)，对直线 l 上任意一点 P，存在
3、唯一的实数 t 满足向量等式 (1t) t ，反之，对每一个实数 t，在直线 l 上都有OP OA OB 唯一的一个点 P 与之对应向量等式 (1 t ) t 叫做直线 l 的向量参数方程式，OP OA OB 其中实数 t 叫做参变数，简称 参数4线段中点的向量表达式在向量等式 (1t) t 中，若 t ，则点 P 是 AB 的中点，且 ( )，OP OA OB 12 OP 12OA OB 这是线段 AB 的中点的向量表达式.要点一 用基底表示向量例 1 如图所示，设 M，N，P 是ABC 三边上的点，且 ， ，BM 13BC CN 13CA ，若 a， b，AP 13AB AB AC 试用
4、a，b 将 、 ， 表示出来MN NP PM 解 a b，NP AP AN 13AB 23AC 13 23 b (ab)MN CN CM 13AC 23CB 13 23 a b，23 13 ( ) (ab) PM MP MN NP 13规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合(2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 cxayb，其中x，yR，然后得到关于 x，y 的方程组求解跟踪演练 1 如图，四边形 OADB 是以向量 a， b 为边的平行四边形又OA OB BM BC，
5、CN CD，试用 a、b 表示 ， ， .13 13 OM ON MN 解 ( ) (ab)，BM 13BC 16BA 16OA OB 16 a b.OM OB BM 16 56 ，CN 13CD 16OD ON OC CN 12OD 16OD (a b)23OD 23 a b.MN ON OM 12 16要点二 平面向量基本定理的应用例 2 如图，在ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与BN 相交于点 P，求 APPM 的值解 设 e 1， e 2，则 3e 2e 1，BM CN AM AC CM 2e 1e 2.BN BC CN A，P，M
6、 和 B，P，N 分别共线，存在实数 ， ，使得 e 13 e2，AP AM 2e 1e 2.BP BN 故 (2) e1(3) e2.BA BP AP 而 2e 13e 2，BA BC CA 由平面向量基本定理，得Error!解得Error! ，APPM41.AP 45AM 规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线注意方程思想的应用(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础应根据条件灵活应用，熟练掌握跟踪演练 2 如图，已知OAB 中，延长 BA 到 C，使 ABAC，D 是将 分成 21 的一OB 个分点，DC 和 OA 交于点 E，设 a， b.OA OB (1
7、)用 a，b 表示向量 ， ；OC DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 解 (1)A 为 BC 的中点， ( )， 2ab.OA 12OB OC OC DC OC OD OC 23OB 2ab b2a b.23 53(2) ， OE OA CE OE OC OA OC a2ab (2) ab. 与 共线，存在实数 m，使得 m ，CE CD CE CD 即(2)abm ，( 2a 53b)即(2m2)a b0.(1 53m)a，b 不共线，Error!解得 .451已知 O、A、B 三点不共线，设 a， b，且 P 为靠近 A 点的线段 AB 的一个三OA OB 等分点，则 等于( )O
8、P A. a b B. a b13 23 23 13C. a b D. a b14 34 34 14答案 B解析 ，AP 13AB ( )OP OA AP OA 13AB OA 13OB OA a b.23OA 13OB 23 132已知 AD 为ABC 的中线，则 等于( )AD A. B. AB AC AB AC C. D. 12AB 12AC 12AB 12AC 答案 D解析 延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接 CE，BE ，则四边形 ABEC 是平行四边形，则 ( ) .AD 12AE 12AB AC 12AB 12AC 3如图，已知 a， b， 3 ，用 a，b 表示 ，则 等
9、于_AB AC BD DC AD AD 答案 a b14 34解析 AD AB BD AB 34BC ( )AB 34AC AB 14AB 34AC a b.14 344已知 G 为ABC 的重心，设 a， b.试用 a、b 表示向量 .AB AC AG 解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点， ( )AG 23AD 23AB BD 23 (AB 12BC ) ( )23AB 13BC 23AB 13AC AB a b.13AB 13AC 13 131.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是
10、这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决一、基础达标1若 e1，e 2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )Ae 1e 2，e 2e 1 B2e 1e 2，e 1 e212C2e 2 3e1,6e14e 2 De 1e 2，e 1e
11、 2答案 D解析 选项 A、B、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底2下面三种说法中，正确的是( )一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A B C D答案 B3若 a、b 不共线，且 ab0(，R )，则( )Aa0，b0 B 0C 0，b 0 Da0，0答案 B4.如图所示，平面内的两条直线 OP1 和 OP2 将平面分割成四个部分 ，(不包括边界)，若 a b ，且点 P 落在第部分，则实数 a，b 满足( )OP OP1 OP2 Aa0，b0 Ba0，b0 Da0.OP
12、2 5设向量 m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用 m，n 表示 p，则 p_.答案 m n74 138解析 设 pxmyn ，则 3a2bx(2a3b) y(4a2b)(2 x4y)a(3x 2y)b，得Error! Error!p m n.74 1386在ABC 中， c， b.若点 D 满足 2 ，则 _.AB AC BD DC AD 答案 b c23 13解析 AD AB BD AB 23BC ( ) b c.AB 23AC AB 13AB 23AC 23 137.如图所示，在ABC 中，点 M 为 AB 的中点，且 ， 与 相交于点 E，设AN 12NC BN CM a， b ，
13、试以 a，b 为基底表示 .AB AC AE 解 b， a，AN 13AC 13 AM 12AB 12由 N，E，B 三点共线知存在实数 满足 (1 ) b(1) a.AE AN AB 13由 C，E，M 三点共线知存在实数 满足 (1 ) a(1) b.AE AM AC 2Error! 解得Error! a b.AE 25 15二、能力提升8M 为ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则 MA MB 等于( )MC A6 B6ME MF C0 D6 MD 答案 C解析 2 0.MA MB MC MA MD MA AM 9在ABC 中，点 D 在边 AB 上，C
14、D 平分ACB.若 a， b，|a|1，| b|2，则CB CA 等于( )CD A. a b B. a b13 23 23 13C. a b D. a b35 45 45 35答案 B解析 如图，12， ，|CB|CA| |BD|DA| 12 ( )BD 13BA 13CA CB (ba) ，13 a (ba ) a b.CD CB BD 13 23 1310设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC，若 1 212 23 DE AB (1， 2 为实数 )，则 1 2 的值为_AC 答案 12解析 易知 ( ) ，所以 1 2 .DE 12AB 23BC 1
15、2AB 23AC AB 16AB 23AC 1211在平行四边形 ABCD 中， a， b，AB AD (1)如图 1，如果 E，F 分别是 BC，DC 的中点，试用 a，b 分别表示 ， .BF DE (2)如图 2，如果 O 是 AC 与 BD 的交点，G 是 DO 的中点，试用 a，b 表示 .AG 解 (1) BF BC CF AD 12CD ab.AD 12AB 12 a b.DE DC CE AB 12AD 12(2) ba，BD AD AB O 是 BD 的中点，G 是 DO 的中点， (ba)，BG 34BD 34 a (ba)AG AB BG 34 a b.14 3412已知
16、向量 ae 13e 22e 3，b4e 16e 22e 3，c 3e 112e 211e 3，问 a 能否表示成 abc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由解 由 ab c 得e 13e 22e 3(4 3 )e1(612) e2(2 11 )e3，Error!由联立解得Error!，代入也成立a 能表示成 abc 的形式，即 a b c.110 15三、探究与创新13如图，ABC 中，AD 为三角形 BC 边上的中线且 AE2EC，BE 交 AD 于 G，求 及AGGD的值BGGE解 设 ， .AGGD BGGE ，即 ，BD DC AD AB AC AD ( )又 ( )，AD 12AB AC AG GD AD AG .AG 1 AD 21 AB 21 AC 又 ，即 ( )，BG GE AG AB AE AG
