1、第三章 3.2 第 1 课时 一、选择题1若平面 、 的法向量分别为 a 、b(1 ，2，6) ，则(12， 1，3)( )导 学 号 33780815A B 与 相交但不垂直C D 或 与 重合答案 D解析 b2a，ba， 或 与 重合2直线 l1、l 2 的方向向量分别为 a(1,2，2) 、b(2，3,2) ，则 ( )导 学 号 33780816Al 1l 2 Bl 1 与 l2 相交，但不垂直Cl 1l 2 D不能确定答案 C解析 ab0，ab，l 1l 2.3若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 u(2,0，4)，则( )导 学 号 33780817Al
2、Bl Cl Dl 与 斜交答案 B解析 u2a，u a ，l.4在如图所示的坐标系中，ABCDA 1B1C1D1 为正方体，给出下列结论：直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1)；直线 BC1 的一个方向向量为 (0,1,1)；平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0)；平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为 ( )导 学 号 33780818A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 C解析 DD 1AA 1， (0,0,1)；BC 1AD 1， (0,1,1)，直线 AD平面AA1 AD1 ABB1A1， (0,1,0) ；C 1 点坐标为 (1,1,1)，
3、 与平面 B1CD 不垂直，错AD AC1 5已知向量 a(2,4,5)、b(5 ，x ，y) 分别是直线 l1、l 2 的方向向量，若 l1l 2，则( )导 学 号 33780819Ax6，y15 Bx 3，y152Cx 10，y 15 Dx10，y252答案 D解析 l 1 l2，ab， ，Error!.52 x4 y56设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量为( 2，4，k)，若 ，则k ( )导 学 号 33780820A2 B4C4 D2答案 C解析 ， ，1 2 2 4 2kk4，故选 C.二、填空题7已知 A、B 、C 三点的坐标分别为 A(1,2,3)、B (2，
4、1,1)、C(3，)，若 ，则 等于_.AB AC 导 学 号 33780821答案 145解析 (1，3，2)、 (2，2，3)，AB AC ，AB AC 0，AB AC 23( 2)2(3)0，解得 .1458已知直线 l 的方向向量为 u(2,0，1) ，平面 的一个法向量为 v(2,1，4)，则 l 与 的位置关系为_. 导 学 号 33780823答案 l 或 l解析 uv 2(2)0 1( 1)( 4)0，l 或 l .三、解答题9.如图，已知 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且PMMABNND58.求证：直线 MN平面 PBC.导 学
5、号 33780824证明 MN MP PB BN PM PB BN 513PA PB 513BD ( ) ( )513BA BP PB 513BA BC ，513BP BP 513BC 513BC 813BP 与 、 共面， 平面 BCP，MN BC BP MN MN平面 BCP，MN平面 BCP.10已知三棱锥 PABC，D、E、F 分别为棱 PA、PB、PC 的中点，求证：平面DEF平面 ABC.导 学 号 33780825证明 证法一：如图设 a， b， c，则由条件知， 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC 设平面 DEF 的法向量为 n，则 n 0，n 0，DE
6、DF n(ba)0，n( ca)0，n n( )n(2 b2a) 0，n n( )n(2c2a)AB PB PA AC PC PA 0，n ，n ，AB AC n 是平面 ABC 的法向量，平面 DEF平面 ABC.证法二：设 a， b， c，则 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC ba， c a， 2b2a， 2c2a，DE DF AB AC 对于平面 ABC 内任一直线 l，设其方向向量为 e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对( x，y) ，使 ex y x(2b2a)y(2 c2a) 2x(ba)2y( ca)AB AC 2x 2y ，e 与 、 共面，DE D
7、F DE DF 即 e平面 DEF，l平面 DEF， l平面 DEF.由 l 的任意性知，平面 ABC平面 DEF.一、选择题1下面各组向量为直线 l1 与 l2 方向向量，则 l1 与 l2 一定不平行的是 ( )导 学 号 33780826Aa(1,2，2)、b( 2，4,4)Ba(1,0,0)、b( 3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b( 4,6,8)答案 D解析 l 1 与 l2 不平行则其方向向量一定不共线A 中：b2a，B 中：b3a，C 中：b2a.故选 D.2(2015甘肃天水一中高二期末测试) 两个不重合平面的法向量分别为 v1(1,0，1)
8、、v2( 2,0,2)，则这两个平面的位置关系是 ( )导 学 号 33780827A平行 B相交不垂直C垂直 D以上都不对答案 A解析 v 1(1,0，1)，v 2(2,0,2) ，v 22v 1，v 1v 2，两个平面平行3已知点 A(4,1,3)、B(2，5,1) ，C 为线段 AB 上一点且 ，则点 C 的坐标为|AC |AB | 13( )导 学 号 33780828A( ， ， ) B( ，3,2)72 12 52 38C( ，1， ) D( ， ， )103 73 52 72 32答案 C解析 C 在线段 AB 上， ，设 C(x，y，z)，则由 得，AC AB |AC |AB
9、| 13(x4， y1，z3) (24，51，13)，13即Error!，解得Error!.故选 C.4对于任意空间向量 a(a 1，a 2，a 3)、b(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题：ab ；a1b1 a2b2 a3b3若 a1a 2a 31，则 a 为单位向量；aba 1b1a 2b2a 3b30.其中真命题的个数为 ( )导 学 号 33780829A0 B1 C2 D3答案 B解析 由 ab，反之不一定成立，故不正确； 显然错误；是正a1b1 a2b2 a3b3确的，故选 B.二、填空题5过点 A(1,0,0)、B(0,1,0) 、C(0,0,1)的平面的一个法向量为_.
10、 导 学 号 33780830答案 (1,1,1)解析 设法向量 n(x，y,1)，由Error!，得Error!，Error!.n(1,1,1)6在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，2,3)、B(2,1，1)，若直线 AB 交平面xOz 于点 C，则点 C 的坐标为 _.导 学 号 33780831答案 ( ，0， )53 13解析 设点 C 的坐标为(x, 0，z)，则 (x1,2，z3)， (1,3，4)，因为 与AC AB AC 共线，所以 ，解得Error!，所以点 C 的坐标为( ，0， )AB x 11 23 z 3 4 53 13三、解答题7设 a、b 分别是不重合的
11、直线 l1、l 2 的方向向量，根据下列条件判断 l1，l 2 的位置关系； 导 学 号 33780832(1)a(4,6 ， 2)、b(2， 3,1)；(2)a(5,0,2)、b(0,1,0) ；(3)a( 2， 1，1)、b(4，2，8) 解析 (1)a(4,6，2)、b(2，3,1) ，a2b，ab，l 1l 2.(2)a(5,0,2)、b(0,1,0) ，ab0，ab，l 1l 2.(3)a(2， 1，1)，b(4，2，8) ，a 与 b 不共线也不垂直l 1 与 l2 相交或异面8在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形边长为 3 ，棱锥的侧棱长为 5，E、F、G2分别为 BC、CD、
12、PC 的中点，用向量方法证明下列问题 .导 学 号 33780833(1)EFPA；(2)EF平面 PBD；(3)直线 PA 与平面 EFG 不平行解析 设 AC 与 BD 的交点为 O，PABCD 为正四棱锥，PO平面 ABCD，且ACBD ，以 O 为原点，OB，OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，正方形 ABCD 边长为 3 ， OB OC3，2又 PC5，OP4，A(0，3,0) 、 B(3,0,0)、C(0,3,0)、D (3,0,0)、P(0，0,4)(1)E、 F 分别为 BC、CD 的中点，E( ，0)、F( ，0)， (3,0,0)、3232 3232 EF (0，3， 4)， 0，EF PA.PA EF PA (2)显然 (0,3,0)为平面 PBD 的一个法向量，OC 0， EF 平面 PBD.EF OC (3)G 为 PC 中点，G(0，2) ，设平面 EFG 的法向量为 n( x，y，z)，则32n 0，n 0，EF EG Error!，Error!.取 n(0,1,0)，n 30，PA 与平面 EFG 不平行PA
