1、20.3 二次函数解析式的确定一知识要点1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式 （a0）求解yaxbc2析式。2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。yax()23. 若已知二次函数图象与 x 轴的两交点坐标，则应用交点式 ，其yax()12中 为抛物线与 x 轴交点的横坐标12，二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。典型
2、例题例 1. 已知某二次函数的图象经过点 A（1，6），B（2，3），C（0，5）三点，求其函数关系式。分析：设 ，其图象经过点 C（0，5），可得 ，再由另外yaxbc2 c5两点建立关于 的二元一次方程组，解方程组求出 a、b 的值即可。、解：设所求二次函数的解析式为 yxc2因为图象过点 C（0，5）， 来源:学优中考网 xyzkw又因为图象经过点 A（1，6），B（2，3），故可得到：ababab421412即 解 得 ：所求二次函数的解析式为 yx25说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 ，然yaxbc2后确定 a、b、c 的值即得，本题由 C（0，5）可先求出 c
3、的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。例 2. 已知二次函数 的图象的顶点为（1， ），且经过点yaxbc2 92（2，0），求该二次函数的函数关系式。分析：由已知顶点为（1， ），故可设 ，再由点（2，0）9yax()1确定 a 的值即可解： ，则设 yax()12图象过点（2，0）， 9() ayx1212， ，()即： yx42说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定 a 的值。本题虽然已知条件中已设yax()2，但我们可以不用这种形式而另设 这种形式。因为在bcyaxhk()2这种形式中，我们必须求 a、b、c 的值，而在 这种
4、形()2式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母 a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例 3. 已知二次函数图象的对称轴是 ，且函数有最大值为 2，图象与 x 轴的x3一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式。分析：依题意，可知顶点坐标为（3，2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二次函数的解析式为 ya()2图象经过（1，0）， 32a()所求这个二次函数的解析式为 yx1232()即： yx1235说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例 4. 已知二次函数 的图象如图 1 所示，则这个二次函数的关系yaxbc
5、2式是_。图 1分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2， 0），（1，1）三点设解析式为 yaxbc2根据题意得： 41120abc解 得所求二次函数的解析式为 yx2方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，1）来源:xyzkw.Com设解析式为 yax()2图象过（0，0）， ，012()a1所求二次函数的解析式为 yx即 2方法三：由图象可知，该二次函数图象与 x 轴交于点（0，0），（2，0）设解析式为 yax()02图象过（1，1）来源:学优中考网 xyzkw ，21所求二次函数解析式为： yx()即
6、： yx说明：依题意后两种方法比较简便。例 5. 已知：抛物线在 x 轴上所截线段为 4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与 x 轴的两个交点为（x 1，0），（x 2，0），则有对称轴 ，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式122()解：顶点坐标为（2，4）对称轴是直线 x2抛物线与 x 轴两交点之间距离为 4两交点坐标为（0，0），（4，0）设所求函数的解析式为 yax()2图象过（0，0）点 ，a1所求函数的解析式为 24例 6. 已知二次函数 的最大值是零，求此ymxm()()(321函数的解析式。分析：依题意，此函数图象的开口应向下，
7、则有 ，且顶点的纵坐标a0的值为零，则有： 。以上两个条件都应满足，可求 m 的413202()()值。解：依题意：mm0413202 ()()由得 由得： （舍去）12，所求函数式为 yx()()132即： 2例 7. 已知某抛物线是由抛物线 经过平移而得到的，且该抛物线经过点y2A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。分析：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由于它是抛物线axbc经过平移而得到的，故 a2，再由已知条件列出 b、c 的二元一次方程组可解本yx题。解：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由已知可得 a2，又它经y2过点 A（1，1），B（2，4）故： 解得：184124bcbc
8、即 bc32所求抛物线的函数表达式为： yx32说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线 的平移关系，得到 a2例 8. 如图 2，已知点 A（4，0）和点 B（6，0），第三象限内有一点 P，它的横坐标为2，并且满足条件 tantan PA1图 2（1）求证：PAB 是直角三角形。（2）求过 P、A、B 三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。分析：（1）中须证 ，由已知条件：AB22，应过 P 作 PCx 轴tantan 1（2）中已知 P、A、B 三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式解：（1）过 P 作 PCx 轴于点 C，由已知易知 AC2，BC8从 而 ， tan
9、tanPBA8 ，解得：PC4C1P 点的坐标为（2，4）来源:学优中考网 xyzkw由勾股定理可求得： C220，又PB80AB1 AP2 9， 故APB 是直角三角形（2）解法 1，可设过 P、A、B 三点的抛物线的解析式为：，yaxbc则有4416031426cababc yxx14261425()顶点坐标（1， ）5解法 2：由抛物线与 x 轴交于 A（4，0），B（6，0），可设 ，又抛物线过点 P（2，4）可求 a 值ya()解法 3：由 A（4，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为 1可设 ，将 A、B 点的坐标代入解析式可求 a，k 的值xk()2例 9. 如图 3 所示，是
10、某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点 A 和 A1，点 B 和 B1分别关于 y 轴对称，隧道拱部分 BCB1为一段抛物线，最高点 C离路面 AA1的距离为 8 米，点 B 离地面 AA1的距离为 6 米，隧道宽 AA1为 16 米图 3（1）求隧道拱抛物线 BCB1的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为 4 米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7 米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。分析：（1）由已知可得顶点 C 的坐标为（0，8），B 点坐标为（8，6），从而可求其函数关系式。（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到 y 轴的距离是
11、2，于是求出抛物线上横坐标为 2 的点的坐标，再看它到地面 AA1的距离是否大于 7 米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。解：（1）如图所示，由已知得 OAOA 18，OC8，故 C 点坐标（0，8），B 点坐标为（8，6）设隧道拱抛物线 BCB1的函数表达式为 ，yax2则 ()32， 得aa隧道拱抛物线 BCB1的函数关系式为 128（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为 D，过 D 作 DEx 轴于 E当 x2 时， y32878D 点坐标为（2，7 ），DE7878 7DE该运货汽车能安全通过这个隧道。说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确
12、定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为 7 的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于 4。例 10. 有这样一个问题：已知：二次函数 的图象经过 A（0，a），B（1，2），yaxbc2，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 ，题目中的矩形框部分是一段被x墨水覆盖而无法辨认的文字。（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。分析：仅由 A、B 两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则
13、可求出其关系式解：（1）能 ，过程如下yx241由图象经过点 A（0，a），得 ca将图象对称轴为直线 看成已知条件，则抛物线 的对称轴是直线b2 xba2 baa4得 yx2抛物线经过点 B（1，2） ， 所求二次函数的关系式为 yx241（2）可补充条件： （或 或其他条件）bab或说明：二次函数 配方后可变形为c2，故其图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是（yaxbac()422 xa2），第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为即可。yx41例 11. 已知四点 A（1，2），B（0，6），C（2，20），D（1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？
14、如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。分析：先求出经过 A、B、C 的抛物线的关系式，再验证点 D 是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。解：设图象经过 A、B、C 的二次函数为 yaxbc2则由图象经过点 B（0，6），可得 c6又图象经过点 A（1，2），C（2，20） 即 ：abab447解得： 来源:学优中考网5经过 A、B、C 三点的二次函数为 yx256当 xy1512时 ， ()()点 D（1，12）在函数 的图象上即存在二次函数 ，其图象同时经过四个点。x6说明：探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。学优 中 考*，网
