2017年福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体高三上学期半期联考数学（理）试题（解析版）.doc

1、2017 届福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体高三上学期半期联考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化简集合 ,由对数函数的性质化简集合 ，利用交集与补集的定义可得结果.【详解】由一元二次不等式的解法可得 或 ；由对数函数的性质可得 ， ，所以 或 .【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这

2、是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2. 设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故选 D。考点：1.指数函数的性质、对数函数的性质；2.多个数比较大小问题。【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题。多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以 为界分组；（2 ）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将个数按顺序排列。3.

3、已知 为锐角，若 ，则 （ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以两边平方可得 ，即 ，所以联立 可得 ，所以 ，再由，故应选 .考点：1、同角三角函数的基本关系； 2、倍角公式.4. 下列函数中为偶函数又在 上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对选项中的函数分别进行判断即可.【详解】 ， 是偶函数，当 时， 是减函数，不满足条件；， 是偶函数，当 时， 是增函数，满足条件；， 的定义域为 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数 ，不满足条件；， 在 上是减函数，且函数为非奇非偶函数 ，不满足条

4、件；故选 B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.5. 下列四种说法正确的是（ ）若 和 都是定义在 上的函数，则“ 与 同是奇函数”是“ 是偶函数”的充要条件命题 “ ”的否定是“ 0”命题“若 x=2,则 ”的逆命题是“若 ,则 x=2”命题 ：在 中，若 ，则 ；命题 ： 在第一象限是增函数；则 为真命题A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断；利用全称命题否定的定义判断；利用逆命题的定义判断；利用“且”命题的定义判断.【详解】 “ 与 同是奇函数”可得到“ 是偶函数”，而“ 是偶函数”可得到“ 与

5、同是奇函数或同是偶函数”，所以“ 与 同是奇函数”是“ 是偶函数”的充分不必要条件，不正确；命题 “ ”的否定是“ 0”， 不正确；根据逆命题的定义可知，命题“若 ,则 ”的逆命题是“若 ,则 ”， 正确； 若 则 ，可得 ，命题 为真命题，由 可得 在第一象限是增函数错误，命题 为假命题，可得 为假命题， 不正确，即说法正确的是，故选 D.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查奇偶性的定义；全称命题的否定的定义；逆命题的定义；且命题的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”， 因此做这类题目更要细心、多读题

6、，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.6. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 个单位，所得函数图象的一个对称中心为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移和伸缩变换得到函数解析式，由正弦函数的对称性进一步求出正弦函数的对称中心的坐标.【详解】函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 的图象，再向右平移 个单位，得到 ，令 ，解得 ，当 时， ，故函数的对称中心为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数 可求得函数的周期

7、为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.7. 函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：当 时， ，所以 ，所以函数在 上单调递增，所以排除 C,D；当 时，所以 且 ，所以排除 B,故应选 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用； 2、函数的图像【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中档题其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如 ，然后运用导数在研究函数的单调性和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可其解题的关键是合理地分段求出函数的单调性8.

8、 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数 的导数，问题转化为 在 恒成立，令 ，根据函数的单调性求出范围，从而可得结果.【详解】 函数 ， ，若函数 在区间 上递减，故 在 恒成立，即 在 恒成立，令 ， ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，在 递减，在 递增，而 ，故 ，实数 的取值范围为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参

9、数需注意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围9. 如图所示，由函数 与函数 在区间 上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由 和 在 的交点坐标为 ，两函数图象所围成的封闭图形的面积为.故选 D.考点：定积分在求面积中的应用、正弦函数的图象、余弦函数的图象.10. 已知 是定义在 R 上的奇函数,当 .则函数 的零点的集合为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据 是定义在 上的奇函数，求出函数在 上的解析式，再求出 的解析式，根据函数零点

10、是方程的解，问题得以解决.【详解】 是定义在 上的奇函数，当 时， ，令 ，则 ， ，则 ， ，令 ，当 时， ，解得 或 ；当 时， ，解得 或 （舍去 ），函数 的零点的集合为 ，故选 A.【点睛】已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的解析式有如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若 为奇函数，则函数的解析式为 11. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式化为 ，解不等式组可得结论 .【详解】函数 定义域为 ，且 ，故函数 为

11、奇函数，又 ，且在区间 上 和 都为增函数， 为减函数，函数 在区间 上为增函数，则不等式 可化为 ，即 ，即 ，解得 ，故不等式 的解集是 ，故选 C.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定

12、义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.12. 设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设 ，问题转化为存在唯一的整数 使得 在直线 的下方， 求导数可得函数的极值，解关于 的不等式组可得结论.【详解】设 ，由题意知存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，可得 ，由 可得在 递减，在 递增，当 时， 取最小值 ，当 时， ，当 时， ， ，由 可得 ，由 可得 ，可得 ，解得 ，即 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的

13、图象与性质、导数的应用以及数形结合思想的应用，属于难题 . 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数 ；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积为_。【答案】【解析】【分析】设扇形的半径为 ，根据弧长公式可求出 的值，再由扇形的面积公式即可得出结论.

14、【详解】设扇形的半径为 ，扇形的圆心角为 ，它的弧长为 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查弧长公式以及扇形的面积公式，属于中档题.14. 已知命题 ： ，命题 ：幂函数 在 是减函数，若“ ”为真命题， “ ”为假命题，则实数 的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】化简命题 可得 ，化简命题 可得 ，由 为真命题， 为假命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围.【详解】对命题 ，因为 ，所以 ，解得 ；命题 ，因为幂函数 在 是减函数，所以 ，解得 ；因为“ ”为真命题， “ ”为假命题，所以 一

15、真一假，若 真 假，可得 且 或 ，解得 ；若 假 真，可得 ，且 ，解得 ；实数 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真” ；（3）且命题“一假则假”.15. 已知函数 是 R 上的偶函数，对于 都有 成立，且 ，当 ，且 时，都有 则给出下列命题： ； 函数 图象的一条对称轴为 ；函数 在9，6上为减函数； 方程 在9，9上有 4 个根；其中正确的命题序号是_.【答案】【解析】【分析】赋值

16、，结合奇偶性可得 ，可得 ，得 ；由 ， ，可得 ，可得直线 是函数 的图象的一条对称轴； 函数 在上为减函数， 周期为 6，从而函数 在 为增函数； 的周期为 6，.【详解】 对于任意 ，都有 成立，令 ，则 ，又 是 上的偶函数， ，又由 ，故 ，故 正确；由知 ， 的周期为 6，又 是 上的偶函数， ，而 的周期为 6， 直线 是函数 的图象的一条对称轴，故正确；当 ，且 时，都有 ，函数 在 上为减函数，是 上的偶函数， 函数 在 上为增函数，而 周期为 6， 函数 在 为增函数，故不正确； 的周期为 6，函数 在 有四个零点，故 正确，所以，正确的命题序号是，故答案为.【点睛】本题主

17、要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性与周期性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外， 要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.16. 已知定义在实数集 的函数 满足 ，且 导函数 ，则不等式 的解集为_。【答案】【解析】【分析】构造函数 ，求函数的导数，判断函数的单调性，结合 即可得到结论.【详解】设 ，则不等式 等价为 ，设 ，则 ，的导函数 ，函数 单调递减， ，则此时 ，解得 ，即 的解

18、为 ，所以 ，解得 ，即不等式 的解集为 ，故答案为 .【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手： 根据导函数的 “形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。其中第 17 题 10 分，

19、第 18 22 题各 12 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知（1 ） 求 的值；（2 ） 若 ，且角 终边经过点 ，求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由 平方可解得 ，利用诱导公式化简 ，从而可得结果；（2）结合（1）利用 得， ，由角 终边经过点 ，可得 ，原式化为，从而可得结果 .【详解】 （1） ， ，即 ， （2 ）由（1 ）得，又 ， ，又 角 终边经过点 ， 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“ 给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结

20、合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“ 给值求值” ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角18. 已知函数 .（1 ）求函数 的图象在点 处的切线方程；（2 ）若曲线 与 有三个不同的交点，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）求导数，确定切线斜率，由 的值可得切点坐标，利用点斜式即可求出函数 的图象在点 处的切线方程；（2）曲线 与 有三个不同的交点，等价于 ，有三个不同的根，设 ，转化为 与 有

21、三个不同的交点，求出函数的极值，利用数形结合即可求实数 的取值范围.【详解】 （1） 函数在 处的切线方程是 即 （2 ）令 即 ，设曲线 与 有三个不同的交点，函数 与 有三个不同的交点，令 解得 或 ，当 ，当 时，在 单调递增，在 单调递减， 即 实数 的取值范围为即【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）由点斜式求得切线方程.19. 已知函数 的部分图象如图所示 。（1）求函数的解析式；（

22、2）设 ，且方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围和这两个根的和【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由最值点可得 ，由 可得 ，由 可得 ；（2）在同一坐标系中画出和 的图象，由图可知，当 或 时，直线 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.结合三角函数的对称性，分两种情况讨论即可得结果.【详解】 （1）显然 ， 又图象过（0,1）点，f（0）1,sin ，| ， ； 由图象结合“五点法”可知， 对应函数 ysinx 图象的点（2，0） ，2 2，得 1 所以所求的函数的解析式为：f（x）2sin（2 ）如图所示，在同一坐标系中画出 和 y （mR ）的图

23、象，由图可知，当2 0 或 2 时，直线 y 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.m 的取值范围为：1m0 或 m1 当1m0 时， 两根和为 ； 当 m1 时，两根和为【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时

24、；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时 ；“第四点”(即图象的“谷点”) 时 ；“第五点”时 .20. 已知 ，（1 ） 求函数 单调递增区间，并求满足函数 在区间 上是单调递增函数的实数 的最大值；（2）若 ， ，求 的值【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为 ，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 的递增区间，结合函数 在区间 为单调函数，根据包含关系列不等式组求解即可；（2）由 可得 ，从而可得 的值，由，从而可得结果.【详解】(1) ， 由得 在区间 上是增函数 函数 单调递增区间是

25、 当 时， 在区间 上是增函数，若函数 在区间 上是单调递增函数，则 ， 解得 的最大值是 （2 ） ， ， ，又所以 ，故 所以【点睛】以三角恒等变换为手段，对三角函数进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21. 已知函数 （ ） 。（1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值；（2）当 时，是否存在实数 ，当 （ 是自然常数）时，函数 的最小值是 3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。【答案】 （1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）先求出导函数 ，在求出 的单调区间，进而求得极大值与极小值，比较端点值可得最大值与最小值；（2）当 时，分三种情况讨论函数的单调性，进而求出函数 的最小值（用 表示） ，令其等于 即可求出 的值试题解析： （1）当 时， ，且 ，得 时 ； 时 ，所以函数 在 上单调递增；，函数 在 上单调递减，所以函数 在区间 仅有极大值点 ，故这个极大值点也是最大值点，故函数在 最大值是 ，又 ，故 ，故函数在 上的最小值为 （2 ）（）（）考点：1、利用函数研究函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值及最值