1、2018届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题本试卷共 23题，共 150分，共 4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答案无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12小题，每小题
2、5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集 6,54321U，集合 3,1A，集合 ZxxB,0)4(2| ，则 ()UCABA ,6 B C 6， D 132.已知复数 z在复平面上对应的点为 (2)Z， ，则A. 12i B.|5 C.zi D. 2z是纯虚数3已知向量 (3,)a， )1,(yxb且 a b，若 ,xy均为正数，则 yx23的最小值是 A24 B8 C 38D54.设 C的三个内角 A、 、 所对的边分别为 c、 、 ，如果()()3abcabc，且 a，那么 ABC外接圆的半径为A 1 B 2 C. 2 D45.5()xyz展开式中
3、 xyz项的系数为A30 B40 C. 60 D1206.已知定义在 1,2a上的偶函数 ()fx在 0,25a上单调递增，则函数 ()fx的解析式不可能是A2()fxB|()xfaC. ()afD ()log(|2)afx7已知向量 ba,满足 5b，则 b的取值范围是1侧侧侧112A 5,0 B 25, C 7,25 D 10,58已知椭圆21(0)xyab的左右焦点分别为 12F、 ，以 O为圆心， 12F为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点 P，且直线 O的斜率为 3，则椭圆的离心率为A 13 B 213C 2 D 239已知5tant，),4(，则)4sin(的值为A 1027B 10
4、2C 102D 102710一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A3(8)6B53C4D(4)11.已知双曲线的两个焦点为 10F， 、 210， ， M是此双曲线上的一点，且满足120MF， 12M，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A3 B 3C 2D112.如图，已知直线 ykx与曲线 ()yfx相切于两点，函数 ()gm，则函数 Fg()fxA.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值第卷（非选择题共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）
5、13.已知 ,xy满足不等式组21yx,则 4zyx的最小值是 14甲、乙、丙三个同学在看 cba,三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛” .赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是 ，是 ；乙说：不是 ，是 a；丙说：不是 c，是 b.比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 .15已知三棱锥 ABCP的外接球的球心为 O， PA平面 BC， A，2AB， 1，则球心 到平面 BC的距离为 .16如右图是 3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图” ， ，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小
6、正方形内的概率为 31,若直角三角形的两条直角边的长分别为 )(,ba,则. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12分）已知数列 na中， 1，其前 n项的和为 nS，且满足21nSa().（1）求证：数列 nS是等差数列； （2）证明：当 2 时， 1231.2nS. 18（本小题满分 12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.重庆 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分
7、为 50分，其中立定跳远 15分，掷实心球 15分，1 分钟跳绳 20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表:（）现从样本的 100名学生中,任意选取 2人,求两人得分之和不大于 35分的概率；（）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X服从正态分布 ),(2N，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差 1692S(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分每分钟跳绳个数 155,165
8、) 165,175) 175,185) 185,+)得分 17 18 19 20钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10个，现利用所得正态分布模型:（）预估全年级恰好有 20名学生时，正式测试每分钟跳 182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取 3人，记正式测试时每分钟跳 195个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望.附：若随机变量 X服从正态分布 ),(2N，则 682.0)(XP，)22(P 974.)33954.0，19 （本小题满分 12分）如图，已知 DEF 与 ABC 分别是边长为 1与2的正三角形， ，四边形 DE为直角梯形，且 ， ，点
9、G为 AB 的重心， N为 中点， 平面 ， M为线段 AF上靠近点 的三等分点（1）求证： GM 平面 FN；（2）若二面角 BCD的余弦值为 47，试求异面直线 N与 CD所成角的余弦值20.（本小题满分 12分）如图， 10N,是圆 M： 216xy内一个定点，P是圆上任意一点线段 NP的垂直平分线和半径 MP相交于点 Q（1）当点 在圆上运动时，点 Q的轨迹 E是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点 01G,作直线 l与曲线 交于 A、 B两点，点 关于原点 O的对称点为 D，求 AB 的面积 S的最大值21 （本小题满分 12分）已知函数()ln().auxR（）若曲线 与直线 0
10、y相切，求 a的值.（）若 ,21eae设,ln|)(|xuxf求证： ()fx有两个不同的零点 12,x，且2x.（ 为自然对数的底数）请考生在第 22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 1C的参数方程为1cosinxty（ 为参数） ，圆 2C与圆 1外切于原点 O，且两圆圆心的距离 2|3，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 1和圆 的极坐标方程；（2）过点 的直线 1l、 2与圆 2异于点 O的交点分别为点 A和点 D，与圆 1异于点 的交点分别为点 C和点 B
11、，且 .求四边形 ABCD面积的最大值23选修 45：不等式选讲（本小题满分 10分）已知函数 )()Rxf.（）求不等式 4)1(f的解集 ;M（）若 ,Mba证明 .(2:abf赤峰二中 2015级高三最后一次模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D B A DDDDDD B B A D A D C二、填空题：13-5 14C 15. 6 16. 352三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当 2n时，21nnSS， 112nS1nS，从而 n构成以 1为首项，2 为公差的等差数列.（2）由
12、（1）可知， 1()nnS，12nS当 n时，()(2)(2)()n从而123 113. 32nSSn.18 （12 分）解：（）两人得分之和不大于 35分，即两人得分均为 17分，或两人中 1人 17分，1 人 18分，;1650292106CP 3分（） 1850.21.03.194.08.7. X （个） 5分又 ,13692sS所以正式测试时， 8,5（） 8413.026.)8(P 163.20. （人） 7 分（）由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1人，每分钟跳绳个数 195以上的概率为 0.5，即 ,25.).()0(),5.3(33CB;125.0)3( ,37.)(213
13、2CP的分布列为 .51.03)(XE12分19.（1）解：在 AB 中，连 G延长交 BC于 O，因为点 G为 ABC 的重心所以23GO，且 为 C中点，又23AMF，所以MAF，所以 ；2 分又 N为 B中点，所以 N ，又 D ，所以 D ，所以 O， ， ， 四点共面，4 分又 F平面 ， GM平面 F，所以 平面 N5 分（2）由题意， A平面 BCE，所以 AOBC，平面 A平面 BCDE，且交线为 BC，因为 BCD，所以 平面 ，又四边形 E为直角梯形， 2， 1D，所以 E ，所以 O平面 A因为 F ， ，所以平面 /平面 F，又 与 A 分别是边长为 1与 2的正三角形
14、，故以 O为原点， C为 x轴， OE为 y轴， A为 z轴建立空间直角坐标系，设 Dm，则 1,0，1,， ,3A，3,2Fm， 1,0B，13,02N，7 分因为2M，所以1,， ,C，42,mBM，设平面 BC的法向量 ,abcn，则0Bn，取 ,3n，8 分平面 D的法向量 01，9 分所以二面角 M的余弦值cosn2743m，0 1 2 3.7.5.01.213m，10 分又53,6MN， 0,CDmcos,CD274；直线 MN与 所成角的余弦值为 712 分20.解（1）由题意得 42QNMQPMN，根据椭圆的定义得点 的轨迹 E是以 、 为焦点的椭圆，2 分2a， 3c， 1b
15、， 轨迹方程为2143xy4 分（2）由题意知2ABDABOSdAB （ 为点 O到直线 l的距离） ，设 l的方程为 1ykx，联立方程得21 43ykx，消去 得 23480，设 1Axy,， 2Bxy,，则 122834kx， 12834xk，6 分则212126k，8 分又 2d，9 分24613ABDkS，10 分令21kt，由 20，得 t，2461ABDStt， t，易证12yt在 ,递增，123t，3AB， B 面积 S的最大值46312 分21（12 分）解：（）设切点 )0,(xP,(2xau.,002xaxk又切点在函数 u上， ,0即 ,1lnl00.1,0eax 4分
16、（）证明:不妨设 12x， 21()aux，所以 ()ux在 ,)上单调递减，又 (),()ln0auee，所以必存在 0,2x，使得 ()ux，即 ,ln0xa0,lnl)(xxaf. 6分当 0时， 22221ln(1)(1)() 0axaxaf所以 ()fx在区间 0,x上单调递减，注意到 1ae， 000lln()nxfx所以函数 ()fx在区间 ,上存在零点 1，且 10e. 9分当 0时, 22l()axx 所以 ()fx在区间 0(,)上单调递增，又 0lnlln)(0axf ，且 l1l412l2ln2052efeeeA，所以 ()x在区间 0(,)上必存在零点 2x，且 0.
17、 综上， f有两个不同的零点 1、 ，且 121xe. 22解：（）由圆 1C的参数方程cosinty（ 为参数） ，得2(1)xy，-1 分 所以 1(,0)C， 1r又因为圆 与圆 1外切于原点 O，且两圆圆心的距离 2|3，可得 1(,0)C， 2r，则圆 2C的方程为2()4xy-3分所以由cosinxy得圆 1的极坐标方程为 cos，圆 2C的极坐标方程为 4cos-5分（）由已知设 1A(,)，则由 12l 可得 2B,， 3C(,)， 43D(,)2由（）得12344cos()2sinscoco()4si，所以 13241()18sinco9sin22ABCDS 四 边 形-8分所以当 sin时，即 4时， ABCDS四 边 形 有最大值 9-10分23.（10 分）解：（） 1,2,1xx由 ;,41Mx 5分（）法一：要证 42ab，只需证 224ab，即证 168482ab， 8只需证 2，即证 042ba由（） ,ba： 上式显然成立，故原命题得证.法二： ， 要证 42ab只需证 42ab，即证 0由（） ,： 上式显然成立，故原命题得证. 10 分
