1、页 1 第2019 届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120 分钟 总分：150 分一、选择题（12*5=60）1已知集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）|21AxABA. B. C. D. 2,5|,12 “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3 下列函数中，其定义域和值域与函数 的定义域和值域相同的是（ ）lnxyeA. B. C. D. yxlnyx1yx10x4 下列函数既是奇函数又在 上是减函数的是（ ）,A. B. C. D. tanyx1yx123logxy13xy5函数 23()l
2、og()(0)f的零点所在的大致区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，e） D （3，4）6三个数 的大小顺序是 （ ）.0.4.,l5A. B. 0.4.20.433y5z B.3y5z2x C.3y2x5z D.2x5z3y12已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）1,02lnxfmnffnmA. B. C. D. 32ln,3l,1,2e1,2e二、填空题（4*5=20）13若函数 ，则 = .xxf2)1()3(f14在 OAB 中 .点 C 满足向量 ,则 y-x= .OByAxCBA,415若关于的方程 在 上没有实数根，则实数 的取值范围是_.16 已知函
3、数 则不等式 的解集是_2,1xf2fxf三、解答题页 3 第17.(10 分）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且ABC, ,abc2sin3.Bb（1 ）求角 的大小。（2 ）若 ，求 的面积。6,8,abc18. （ 12 分） 中，内角 的对边分别为 ，若 A,B,C 成等差数列，a,b,c 成 等比数ABC, ,abc列，求证： 为等边三角形。19. （12 分） 中，内角 的对边分别为 .已知：2asinC= csinBABC, ,abc3(1) 若 b=4 ,C=120 求 面积 S3。 AB(2) 若 b:c=2:3, 求 nsi220. (12 分）已知数列a 满足 a =1
4、,na =(n+1)an11nn(1) 求a 的通项公式n(2) 设 b =log a ,(x表示不超过 x 的最大整数） ，求数列 b 的前 1000 项和 S.2n n21 （12 分）已知函数 R）.axf(l)(（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；xy1, 01yxa页 4 第（2）在（1）条件下，求函数 的单调区间和极值；)(xf（3）当 ，且 时，证明：a1x.122.（12 分）已知函数 2()ln0,1xfaa（）求函数 的单调区间；（）若 a1,存在 12,x，使得 12()fxfe（ 是自然对数的底数） ，求实数 a的取值范围。期中数学（理）参考答案1-6
5、DACCBD 7-12 ABDBCA13 -1 14 15 16350,2页 5 第17. 5 分 10 分(1)3A73(2)S18. A+B+C=180 2B=A+C B=60 4 分。 。b =ac 6 分2b = a -2acCOSB= a -ac 8 分2c2cac=a -ac 9 分（a- c） =0 10 分2a=c 11 分 为等边三角形 12 分ABC19. 略解（1）S=18 6 分（2）1 12 分20. （1）a =n 4 分n（2）S=1.2 9.489=7.2 +2+9.489=7987(用错位相减法）12 分83212 921 （1）函数 ()|0,fxx的 定
6、义 域 为所以 又曲线 处的切线与直线 平行，所以2ln.af()1,()yff在 点 10xy4 分(1),0.即（2）令 ，当 x 变化时， 的变化情况如下表：fxe得 (),fx由表可知： 的单调递增区间是 ，单调递减区间是()fx(0,)e(,)e所以 处取得极大值，8 分e在 ln().fxf极 大 值（3）当 由于ln11,().afx时 l1,(),xf要 证只需证明 令ln.l,1.hxh则因为 ，所以 上单调递增，1x,)(,0)( 在故x当 即 成立故,时 xln当 时，有1x.1)(,1lnxfx即页 6 第22. 解：（） ()ln2l(1)lnx xfaaa+ 1 分
7、因为当 1a时， l0， 1在 R上是增函数，因为当 0时， na， lx在 上也是增函数，所以当 或 ，总有 ()f在 上是增函数， 3 分又 (0)f，所以 ()0fx的解集为 ,+， 0fx的解集为 ,0， 故函数 x的单调增区间为 ,)，单调减区间为 , 6 分（）因为存在 12,，使得 12()e1fxf 成立，而当 1,x时，12maxin()()()fxfff所以只要 maxin(ff 即可 又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：x(,0)0(0,)+()fx减函数 极小值 增函数所以 ()fx在 1,0上是减函数，在 0,1上是增函数，所以当 1,x时， fx的最小值min， fx的最大值 maxf为 1f和 f中的最大值 8 分因为(1)(1ln)(1ln)2lnfaa+，令2l0ga，因为 2(1)0ga ，所以()na在 ,上是增函数而 10g，故当 1时， 0g，即 (1)f；所以，当 1a时， ()0e1f ，即lnea，函数 lya在 (,)上是增函数，解得 ea ； 12 分
