1、2018 届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检数学（文）试题）注意事项： 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共 23 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 60
2、 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已知集合 P=y|y=（ ） x，x0，Q=x|y=lg（2xx 2），则 RPQ=（ ）A1，2） B （1，+） C2，+） D1，+）2.已知 x1，x 2是函数 f（x）=2sinx+cosxm 在0，内的两个零点，则 sin（x 1+x2）=（ ）A B C D3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地
3、”问此人第 4天和第 5 天共走了（ ）A60 里 B48 里 C36 里 D24 里4.在复平面内，复数 z= 2i 3（i 为虚数单位）表示的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.若不等式组错误！未找到引用源。表示的平面区域经过所有四个象限，则实数 错误！未找到引用源。 的取值范围是 （ ）A.错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。6.九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小
4、正方形的边长为 1 丈)，那么该刍甍的体积为 ( )A4 立方丈 B5 立方丈 C. 6 立方丈 D12 立方丈7.已知函数 f（x）满足 f（x+1）=f（x1） ，且 f（x）是偶函数，当 x0，1时，f（x）=2 x1，若在区间1，3内，函数 g（x）=f（x）kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D8.如图，该程序运行后输出的结果是（ ）A6 B8 C10 D129.已知函数 ，若方程 f（x）kx+k=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）A B C1，+） D10.在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中任取一点 M，则满足AMB90的
5、概率为（ ）A B C D11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e 2，则e1e2+1 的取值范围为（ ）A（1，+） B（ ， +） C（ ，+） D（ ，+）12.函数 f（x）=x 3+x，xR，当 时，f（msin）+f（1m）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （0，1） B （，0） C D （，1）第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.已知向量 =（2，3
6、） ， =（1，2） ，若 m +n 与 3 共线，则 = 14.已知圆 C：（x2） 2+y2=4，点 P 在直线 l：y=x+3 上，若圆 C 上存在两点 A、B 使得 =3 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 15.已知 A，B 是求 O 的球面上两点，且AOB=120，C 为球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 ，则求 O 的表面积为 16.对正整数 n，设曲线 y=xn（1x）在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列 的前 n 项和的公式是 三.解答题（共 8 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）已知 =（sinx+cosx ， cosx） ，
7、=（cosxsinx，2sinx） （0） ，函数 f（x）= ，若 f（x）相邻两对称轴间的距离不小于 （1）求 的取值范围；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，a=2，当 最大时，f（A）=1，求ABC 面积的最大值18.（本题满分 12 分）如图，直角三角形 ABC 中，A=60，沿斜边 AC 上的高 BD，将ABD 折起到PBD 的位置，点 E 在线段 CD上（1）求证：PEBD；（2）过点 D 作 DMBC 交 BC 于点 M，点 N 为 PB 中点，若 PE平面 DMN，求 19.（本题满分 12 分）2017 年 10 月 18 日上午 9:00，中国共
8、产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査网站从观看十九大的观众中随机选出 200 人，经统计这 200 人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式 PC 端口观看的人数之比为4：1. 将这 200 人按年龄分组：第 1 组15, 25)，第 2 组25, 35)，第 3 组35, 45)，第 4 组45, 55)，第 5 组55, 65)，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示. (1)
9、求 a 的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；(2)把年龄在第 1，2，3 组的观众称为青少年组，年龄在第 4，5 组的观众称为中老年组，若选出的 200 人中通过新型的传媒方式 PC 端口观看的中老年人有 12 人，请完成下面 22 列联表，则能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？通过 PC 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计青少年中老年合计附： （其中 样本容量）. 22()(nadbcKnabcd20(Pk0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.87
10、9 10.82820.（本题满分 12 分）设函数 f（x）=a 2lnx+x2ax（aR） （1）试讨论函数 f（x）的单调性；（2）如果 a0 且关于 x 的方程 f（x）=m 有两解 x1，x 2（x 1x 2） ，证明 x1+x22a21.（本题满分 12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）经过点（ ，1） ，且离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）设 M、N 是椭圆 C 上的点，直线 OM 与 ON（O 为坐标原点）的斜率之积为 ，若动点 P 满足= +2 ，试探究，是否存在两个定点 F1，F 2，使得|PF 1|+|PF2|为定值？若存在，求 F1，F 2的坐标，若不存在，请说
11、明理由来源: Z,X,X,K选做题 请考生从 22、23 题中任选一题作答，共 10 分。22.选修 4-4.坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以 O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线 C1的极坐标方程为 sin（ ）=3，曲线 C2的参数方程为 （ 为参数）（1）将曲线 C1的极坐标方程化为直角方程，C 2的参数方程化为普通方程；（2）设 P 是曲线 C1上任一点，Q 是曲线 C2上任一点，求|PQ|的最小值23.选修 4-5.不等式选讲设 f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为 m（）求 m；（）若 a，b，c（0，+） ，a 2+2b2+c2=m，求 ab
12、+bc 的最大值衡阳八中 2018 届高三年级实验班第三次质检参考答案文科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C A D B C C B A B D13.14.15.6416.2n+1217.（1）函数 f（x）= =（sinx+cosx） （cosxsinx ）+2 cosxsinx=cos2x+ sin2x=2sin（2x+ ） ， （4 分）f（x）相邻两对称轴间的距离不小于 T，则 ，解得 01。 （6 分） （2）当 =1 时， ，且 A（ 0，） ， ， ， （8 分）b 2+c2=bc+4，又 b2+c22bc，bc+42bc，即 bc4，
13、当且仅当 b=c=2 时，bc=4， （10 分） （12 分）18.（1）BD 是 AC 边上的高，BDCD，BDPD，又 PDCD=D，BD平面 PCD，又 PE平面 PCD 中，BDPE，即 PEBD；（5 分）（2）如图所示，连接 BE，交 DM 与点 F，PE平面 DMN，PENF，又点 N 为 PB 中点，点 F 为 BE 的中点；DF= BE=EF；又BCD=9060=30，DEF 是等边三角形，设 DE=a，则 BD= a，DC= BD=3a； = = （12 分）19.（1）由频率分布直方图可得：10(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l，解得 a=0.035，
14、 （3 分）所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：20100.01+30100.015+40100.035+50100.03+60100.01=41.5 （6 分）（2）由题意得 22 列联表: 通过 PC 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计青少年 28 96 124中老年 12 64 76合计 40 160 200（8 分）计算得 的观测值为 ，2K220(86419).358.7067k所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. （12 分）20.（1）由 f（x）=a 2lnx+x2ax，可知 = （1 分）因为函数 f（x）
15、的定义域为（0，+） ，所以，若 a0，则当 x（0，a）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 x（a，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；（2 分）若 a=0，则当 f（x）=2x0 在 x（0，+）内恒成立，函数 f（x）单调递增；（3 分）若 a0，则当 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 时，f（x）0，函数 f（x）单调递增 （4 分）（2）要证 x1+x22a，只需证 设 g（x）=f（x）= ， （6 分）因为 ，所以 g（x）=f（x）为单调递增函数所以只需证 ，即证 ，只需证 （*）又 ， ，所以两式相减，并整理，得 （8 分）把 = 代入（*）式，得只
16、需证 ，可化为 令 ，得只需证 令 （0t1） ，则 = ，所以 （t）在其定义域上为增函数，所以 （t）（1）=0综上得原不等式成立 （12 分）21.（）椭圆 C： + =1（ab0）经过点（ ， 1） ，且离心率为 ， ，解得 a=2， b= ，椭圆 C 的方程为 =1 （4 分）（）设 P（x，y） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则由 ，得 x=x1+2x2，y=y 1+2y2，M，N 都在椭圆 =1 上， ， （ ） =（ ）+4（ ）+4（x 1x2+2y1y2）=20+4（x 1x2+2y1y2） ， （8 分）设 = ，x 1x2+2y1y2=0，x 2+2
17、y2=20，点 P 是椭圆 上的点，由椭圆的定义知存在点 F1，F 2，满足|PF 1|+|PF2|=2 =4 为定值，又|F 1F2|=2 =2 ，F 1，F 2的坐标分别为 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） （12 分）22.（1）曲线 C1的极坐标方程为 sin（ ）=3， =3，曲线 C1的直角坐标方程为 （3 分）曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2的普通方程为：x 2+（y+2） 2=4（5 分）（2）曲线 C2：x 2+（y+2） 2=4 是以（0，2）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心（0，2）到曲线 C1： 的距离 d= =4，（8 分）P 是曲线 C1上任一点，Q 是曲线 C2上任一点，|PQ|的最小值为：dr=42=2（10 分）23.（）当 x1 时，f（x）=3+x2；当1x1 时，f（x）=13x2；当 x1 时，f（x）=x34故当 x=1 时，f（x）取得最大值 m=2 （5 分）（）a 2+2b2+c2=（a 2+b2）+（b 2+c2）2ab+2bc=2（ab+bc） ，当且仅当 a=b=c= 时，等号成立此时，ab+bc 取得最大值 =1 （10 分）
