1、3.3.3 最大值与最小值课时目标 1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值1最大值：如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 xI，总有_，则称 f(x0)为函数在_的最大值2一般地，如果在区间a， b上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么 f(x)必有最大值和最小值此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间； (2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的3一般地，求 f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下
2、：(1)求 f(x)在(a， b)上的_；(2)将(1)中求得的极值与 f(a)，f (b)比较，得到 f(x)在区间a，b 上的最大值与最小值一、填空题1给出下列四个命题：若函数 f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值一定是a，b 上的极大值；若函数 f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值一定是a，b 上的极小值；若函数 f(x)在a，b上有最值，则最值一定在 xa 或 xb 处取得；若函数 f(x)在(a，b)内连续，则 f(x)在(a，b) 内必有最大值与最小值其中真命题共有_个2函数 f(x)x(1 x 2)在0,1上的最大值为_3已知函数 f(x)ax 3c ，且 f(1)6，函
3、数在1,2 上的最大值为 20，则c_.4若函数 f(x)、g(x)在区间a，b上可导，且 f(x)g(x) ，f (a)g(a) ，则在区间a，b上有 f(x)与 g(x)的大小关系为_5已知函数 yx 22x 3 在 a,2上的最大值为 ，则 a_.1546函数 f(x)ln x x 在(0，e上的最大值为_7函数 f(x) ex(sin xcos x)在区间 上的值域为_12 0，28若函数 f(x)x 33x a 在区间 0,3上的最大值、最小值分别为 M、N，则 MN 的值为_二、解答题9求下列各函数的最值(1)f(x) xsin x ，x0,2；12(2)f(x)x 33x 26x
4、 2，x 1,110已知 f(x)x 3x 2x 3，x1,2 ，f (x)m m 恒成立，求实数 m 的取值范围12若 f(x)ax 36ax 2b， x 1,2的最大值为 3，最小值是 29，求 a、b 的值1求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值2在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题3可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题33.3 最大值与最小值知识梳理1f(x)f(x 0) 定义域上3(1)极值作业
5、设计10解析 因为函数的最值可以在区间a，b 的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题与不真由于最值可以在区间内部取得，故命题也不真对于命题，我们只要考虑在(a，b) 内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值( 也无极值) ，因此命题也不真综上所述，四个命题均不真2.239解析 f(x) xx 3，f(x) 13x 2，令 f(x )0，得 x ，f(0)0，f(1)0，33f ，f .(33) 239 ( 33) 239f(x) max .23934解析 f(x)3ax 2，f (1)3a6，a2.当 x1,2时，f(x )6x 20，即 f(x)在1
6、,2上是增函数，f(x) maxf(2)22 3c20，c 4.4f(x)g(x)解析 f(x) g(x)，f( x)g( x)单调递增xa，f(x)g( x)f(a) g(a)，即 f(x)g(x) 0.512解析 y2x 2，令 y 0，得 x1.当 a1 时，最大值为 f(1)4，不合题意当10 得 01，f(x)在1x 1 xx(0,1上是增函数，在(1，e 上是减函数当 x1 时，f( x)有最大值 f(1)1.7. 2,e解析 x ，f(x) excos x0，0，2f(0)f(x) f .即 f(x) .(2) 12 12 820解析 f(x) 3x 23，令 f (x)0，得
7、x1，(x1 舍去)f(0)a，f(1) 2a，f (3)18a.M18a，N2a.MN20.9解 (1)f(x) cos x.12令 f(x )0，又0x2 ，x 或 x .23 43f ，f ，(23) 3 32 (43) 23 32又f(0)0，f(2).当 x0 时，f( x)有最小值 f(0)0，当 x2 时，f(x) 有最大值 f(2).(2)f(x) 3x 26x63( x22x2)3(x 1)23，f(x )在1,1内恒大于 0，f(x)在1,1上为增函数故 x1 时，f( x)最小值 12；x1 时，f(x) 最大值 2.即 f(x)在1,1上的最小值为12，最大值为 2.1
8、0解 由 f(x)mf(x)恒成立，知 mf(x)max，f(x)3x 22x 1，令 f(x) 0，解得 x 或 x1.13因为 f( ) ，13 8627f(1)2，f(1)2，f(2)5.所以 f(x)的最大值为 5，故 m 的取值范围为(5，)11解 (1)f( x)xe x x2ex x(x2)12 ex2由 x(x2)0，解得 x0 或 xm 恒成立，m0 时，最大值为 b3，最小值为16ab29，解得Error!当 a0，t(8,9)时，y0，当 x 时，V0)，500x x 275y x2，由 y0，得 x25，x(0,25)时，y0，x(25，) 时，250x 225y0 ，
9、(2S 4， )所以当 x 时，L 取最小值，2S 4此时 1.hx 2S x24x2 2S4x2 4 44 46300解析 设总成本为 C，则 C20 000100x，所以总利润PRC Error!PError!令 P0，得 x300，易知当 x300 时，总利润最大75解析 依题意可设每月土地占用费 y1 ，每月库存货物的运费 y2k 2x，其中 x 是仓k1x库 到车站的距离于是由 2 ，得 k120；由 810k 2，得 k2 .k110 45因此两项费用之和为 y ，y ，20x 4x5 20x2 45令 y 0 得 x5(x5 舍去)，经验证，此点即为最小值点20x2 45故当仓库
10、建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小83解析 设半径为 r，则高 h .27r2 27r2水桶的全面积 S(r) r22r r 2 .27r2 54rS (r)2r ，令 S (r) 0，得 r3.54r2当 r3 时，S (r)最小9解 (1)设需新建 n 个桥墩，则( n1)xm ，即 n 1 (00，f (x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值，此时 n 1 19.mx 64064故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小10解 (1)设商品降低 x 元时，多卖出的商品件数为 kx2，若记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(432 kx 2)(21x)(432kx 2)，又由已知条件 24k2 2，于是有 k6，所以 f(x)6x 3126x 2432 x9 072，x0,30(2)根据(1)，有 f(x)18x 2252x43218(x2)(x12)当 x 变化时，f( x)与 f( x)的变化情况如下表：
