1、【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 新人教版选修 2-2题型一 导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1， y1)，由 f( x1)和 y1 f(x1)求出 x1， y1的值，转化为第一种类型y0 y1x0 x1例 1 已知函数 f(x) x aln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程；(2
2、)求函数 f(x)的极值解 函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)1 .ax(1)当 a2 时， f(x) x2ln x， f( x)1 (x0)，2x因而 f(1)1， f(1)1，所以曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为y1( x1)，即 x y20.(2)由 f( x)1 ， x0 知：ax x ax当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f( x)0，解得 x a.又当 x(0， a)时， f( x)0，从而函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为f(a) a aln a，无极大值综
3、上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值 a aln a，无极大值跟踪训练 1 已知函数 f(x) ax22ln(2 x)(aR)，设曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线为 l，若 l 与圆 C： x2 y2 相切，求 a 的值14解 依题意有： f(1) a， f( x)2 ax (x0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式 f( x)0，解得 x2，又 x(0，)，函数的单调增区间为(2，)，函数的单调减区间为(0,2)(2)函数 f(x) x(x a)2 x32 ax2 a2x 的定义域为 R，由 f( x)3 x24
4、 ax a20，得 x1 ， x2 a.a3当 a0 时， x1x2，函数 f(x)的单调递增区间为(， a)，( ，)，a3单调递减区间为( a， )a3当 a0 时， f( x)3 x20，函数 f(x)的单调递增区间为(，)，即 f(x)在 R上是单调递增的综上， a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(， )，( a，)，单调递减区间为( ， a)；a3 a3a0，解得 2k 0 得 xe1 ，因此， f(x)的单调递增区间是(e 1 ，)，单调递减区间是(0，e 1 )题型三 数形结合思想在导数中的应用1应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)解方程
5、f( x)0 的根；(3)检验 f( x)0 的根的两侧 f( x)的符号若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是 f(x)的极值点2求函数 f(x)在闭区间 a， b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求 f(x)在( a， b)内的极值；(2)将(1)求得的极植与 f(a)、 f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，当 f(x)在( a， b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，当 f(x)在(a， b)内只有一个极值点时，若在这一个点处 f(x)有极大(小)值，则可以断定 f(x)在该
6、点处 f(x)有极大(小)值，则可以断定 f(x)在该点处取得最大(小)值，这里( a， b)也可以是(，)例 3 设 |x2|，则有( )A a0， b0 B a0 D a0， b|x2|， x1x2， x1 x20，12所以 S(t)在 0t 上单调递减，12在 t1 上单调递增12所以当 t 时， S 最小，即图中阴影部分的面积 S1与 S2之和最小12呈重点、现规律1函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围2在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是： f( x)0(或 f( x)0)，且 f( x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可
