1、1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念明目标、知重点1了解导数概念的实际背景 2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1函数的变化率定义 实例平均变化率函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率为，简记作：fx2 fx1x2 x1 y x 平均速度；曲线割线的 斜率瞬时变化率函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是函数f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限，即 lim x 0fx0 x fx0 x lim x 0 y x瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率2.函数 f(x)在 x x0处的导数函数 y f(x)在 x x
2、0处的瞬时变化率称为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或y| x x0，即 f( x0) .lim x 0 y x lim x 0fx0 x fx0 x情境导学某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5和 5 月 28 日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为 15.1，甚至超过了 14.8，而人们却不会发出上述感慨
3、，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快” ，而后者变化得“缓慢” ，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一 平均变化率的概念思考 1 气球膨胀率很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系是 r(V) ，33V4(1)当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了r(1) r(0)0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L)r1 r01 0(2)当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气
4、球半径增加了 r(2) r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L)r2 r12 1可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了结论 当空气容量从 V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是 .rV2 rV1V2 V1思考 2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9 t26.5 t10.计算运动员在时间段0 t0.5，1 t2 内的平均速度 ，并思考平均速度有什么作用？v答 在 0 t0.5 这段时间里， 4.05(m/s)；vh0.5 h00.5 0在 1 t2 这段时
5、间里， 8.2(m/s)vh2 h12 1由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考 1 和思考 2 中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用 y f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率，平均变化率fx2 fx1x2 x1可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考 1 中的平均变化率表示在空气容量从 V1增加到 V2时，气球半径的平均增长率思考 2 中的平均变化率表示在时间从 t1增加到 t2时，高度 h 的平均增长率思考 4 平均
6、变化率也可以用式子 表示，其中 y、 x 的意义是什么？ 有什么几何意 y x y x义？答 x 表示 x2 x1是相对于 x1的一个“增量” ； y 表示 f(x2) f(x1) x、 y 的值可正可负， y 也可以为零，但 x 不能为零观察图象可看出， 表示曲线 y f(x)上两点( x1， f(x1)、 y x(x2， f(x2)连线的斜率小结 平均变化率为 ，其几何意义是：函数 y f(x)的图象上两点 y x fx2 fx1x2 x1(x1， f(x1)、( x2， f(x2)连线的斜率例 1 已知函数 f(x)2 x23 x5.(1)求当 x14， x25 时，函数增量 y 和平均
7、变化率 ； y x(2)求当 x14， x24.1 时，函数增量 y 和平均变化率 ； y x(3)若设 x2 x1 x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解 f(x)2 x23 x5， y f(x1 x) f(x1)2( x1 x)23( x1 x)5(2 x 3 x15)212( x)22 x1 x3 x2( x)2(4 x13) x2( x)219 x. 2 x19. y x 2 x2 19 x x(1)当 x14， x25 时， x1， y2( x)219 x21921， 21. y x(2)当 x14， x24.1 时 x0.1， y2( x)219 x0.021.91.92
8、.2 x1919.2. y x(3)在(1)题中 ， y x fx2 fx1x2 x1 f5 f45 4它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率在(2)题中， ， y x fx2 fx1x2 x1 f4.1 f44.1 4它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 y f(x2) f(x1)(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1.(3)得平均变化率 . y x fx2 fx1x2 x1跟踪训练 1 (1)计算函数 h(x)4.9 x26.5 x10 从 x1 到 x1
9、x 的平均变化率，其中 x 的值为2；1；0.1；0.01.(2)思考：当| x|越来越小时，函数 h(x)在区间 1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1) y h(1 x) h(1)4.9( x)23.3 x， 4.9 x3.3. y x当 x2 时， 4.9 x3.313.1； y x当 x1 时， 4.9 x3.38.2； y x当 x0.1 时， 4.9 x3.33.79； y x当 x0.01 时， 4.9 x3.33.349. y x(2)当| x|越来越小时，函数 f(x)在区间 1,1 x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考 1
10、物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t 的函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10，易知 h( ) h(0)， 0，6549 vh6549 h06549 0而运动员依然是运动状态思考 2 观察跟踪训练 1，当 x0.000 01 时， ？这个平均速度能描述物体的运动状 y x态吗？答 4.9 x3.33.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一 y x个常数，这个常数就是 x1 这一时刻的速度思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确
11、描述物体在某一时刻的运动状态如求 t2 时的瞬时速度，可考察在 t2 附近的一个间隔 t，当 t 趋近于 0 时，平均速度 v 趋近于 lim t 0，这就是物体在 t2 时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时变化率h2 t h2 t的关系，我们把函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 叫做函数 y f(x)在 x x0处的导数lim x 0fx0 x fx0 x lim x 0 y x思考 4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度小结 1.函数的瞬时变化率：函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是 .lim x 0fx0
12、 x fx0 x lim x 0 y x2函数在某点处的导数：我们称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率为函数 y f(x)在x x0处的导数，记作 f( x0)或 y| x x0，即f( x0) .lim x 0fx0 x fx0 x lim x 0 y x例 2 利用导数的定义求函数 f(x) x23 x 在 x2 处的导数解 由导数的定义知，函数在 x2 处的导数 f(2)，而 f(2 x) f(2)(2 x)23(2 x)(2 232)lim x 0 f2 x f2 x( x)2 x，于是 f(2) ( x 1)1.lim x 0 x2 x x lim x 0反思与感悟 求一个
13、函数 y f(x)在 x x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x fx0 x fx0 x(3)取极限，得导数 f( x0) .lim x 0 y x跟踪训练 2 求函数 f(x)3 x22 x 在 x1 处的导数解 y3(1 x)22(1 x)(31 221)3( x)24 x， 3 x4， y x 3 x2 4 x x y| x1 (3 x4)4.lim x 0 y x lim x 0例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 x h 时，原油的温度(单位：)为 y f(x) x
14、27 x15(0 x8)计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解 在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f(2)和 f(6)根据导数的定义， y x f2 x f2 x2 x2 72 x 15 22 72 15 x x3，4 x x2 7 x x所以， f(2) ( x3)3.lim x 0 y x lim x 0同理可得， f(6)5.在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3 与 5.它说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 /h 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 /h 的速率上升反思与感悟 (1
15、)本题中， f( x0)反映了原油温度在时刻 x0附近的变化情况(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率 ，当 x 趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函数在 x0 y x fx0 x fx0 x处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练 3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)4.9 t26.5 t10，求运动员在 t s 时的瞬时速度，并解释6598此时的运动状况解 令 t0 ， t 为增量6598
16、则 ht0 t ht0 t 4.9(6598 t)2 6.5(6598 t) 10 4.9(6598)2 6.56598 10 t 4.9 6.5， 4.9 t(6549 t) 6.5 t t (6549 t) 4.9 6.50，lim t 0ht0 t ht0 t lim t 0 (6549 t)即运动员在 t0 s 时的瞬时速度为 0 m/s.6598说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处1如果质点 M 按规律 s3 t2运动，则在一小段时间 2，2.1中相应的平均速度是( )A4 B4.1 C0.41 D3答案 B解析 4.1.v3 2.12 3 220.12函数 f(x)在 x0
17、处可导，则 ( )limh 0fx0 h fx0hA与 x0、 h 都有关B仅与 x0有关，而与 h 无关C仅与 h 有关，而与 x0无关D与 x0、 h 均无关答案 B3已知函数 f(x)2 x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 x,1 y)，则 等于( ) y xA4 B4 x C42 x D42( x)2答案 C解析 y f(1 x) f(1)2(1 x)2112( x)24 x， 2 x4. y x4已知函数 f(x) ，则 f(1)_.1x答案 12解析 f(1) lim x 0f1 x f1 x lim x 011 x 1 x .lim x 0 11 x1 1 x 12呈重
18、点、现规律利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x fx0 x fx0 x(3)取极限，得导数 f( x0) .lim x 0 y x简记为一差，二比，三趋近特别提醒 取极限前，要注意化简 ，保证使 x0 时分母不为 0. y x函数在 x0处的导数 f( x0)只与 x0有关，与 x 无关导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1函数 y x22 x1 在 x2 附近的平均变化率为( )A6 B x6C2 D x2答案 B解析 设 y f(x) x22 x1( x1) 2， y f(2 x) f(2)(2
19、 x1) 2(21) 2(3 x)29( x)26 x，所以 x6， y x所以函数 y x22 x1 在 x2 附近的平均变化率为 x6.2函数 y1 在 2,2 x上的平均变化率是( )A0 B1 C2 D x答案 A解析 0. y x 1 1 x3如果某物体的运动方程为 s2(1 t2)(s 的单位为 m， t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为( )A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s答案 A解析 物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得4一质点按规律 s(t)2 t3运动，则 t1
20、 时的瞬时速度为( )A4 B6 C24 D48答案 B解析 s(1) limt 1st s1t 1 2(t2 t1)6.limt 12t3 2t 1 lim t 15已知函数 y2 ，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量 y_.1x答案 12解析 y (21) .(212) 126.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A甲 B乙C相同 D不确定答案 B解析 在 t0处，虽然 W1(t0) W2(t0)，但是，在 t0 t 处， W1(t0 t)W2(t0 t)，即 ，|W1t0 W1t0 t t | |W2t0 W2t0 t t |所以，在相同时
21、间 t 内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂治污效果较好7利用定义求函数 y2 x25 在 x2 处的瞬时变化率解 因为在 x2 附近， y2(2 x)25(22 25)8 x2( x)2，所以函数在区间 2,2 x内的平均变化率为 82 x. y x 8 x 2 x2 x故函数 y2 x25 在 x2 处的瞬时变化率为(82 x)8.lim x 0二、能力提升8过曲线 y x21 上两点 P(1,2)和 Q(1 x,2 y)作曲线的割线，当 x0.1 时，割线的斜率 k_，当 x0.001 时，割线的斜率 k_.答案 2.1 2.001解析 y(1 x)21(1 21)2 x( x)2， 2
22、 x， y x割线斜率为 2 x，当 x0.1 时，割线 PQ 的斜率 k20.12.1.当 x0.001 时，割线 PQ 的斜率 k20.0012.001.9一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s3 t t2，则物体的初速度是_答案 3解析 v 初 s| t0 li m t 0s0 t s0 tli (3 t)3.m t 010求 y 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率x解 因为 y ，x0 x x0所以 y 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率为 .x y x x0 x x0 x 1x0 x x011求函数 y f(x)2 x24 x 在 x3 处的导数解 y2(3 x)24(3 x)(23 243)12 x2( x)24 x2( x)216 x， 2 x16. y x 2 x2 16 x x y| x3 (2 x16)16.lim x 0 y x lim x 012若函数 f(x) ax2 c，且 f(1)2，求 a 的值解 f(1 x) f(1) a(1 x)2 c a c a( x)22 a x. f(1) lim x 0f1 x f1 x lim x 0a x2 2a x x (a x2 a)2，即 2a2， a1.lim x 0
