1、分类讨论题类型之一 直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1 （沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A50 B80 C65或 50 D50或 80【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当 50角是顶角时，则（18050）2=65，所以另两角是 65、65；（2）当 50角是底角时，则180502=80，所以顶角为 80。故顶角可能是 50或 80.答案：D .同步测试：1.(乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm，则它的周长为
2、（ ）A9cm B12cm C15cm D12cm 或 15cm2. （江西省）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点A 落在点 A处，(1)求证：BE=BF；(2)设 AE=a，AB=b, BF=c,试猜想 a、b、c 之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等例 2.（湖北罗田）在 RtABC 中，C90 0，AC3，BC4.若以 C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边 A
3、B 只有一个公共点，则 r 的取值范围是_ _【解析】圆与斜边 AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与 AB 相切，此时 r2.4；2、圆与线段相交，点 A 在圆的内部，点 B 在圆的外部或在圆上，此时 3r4。【答案】 3r4 或 r2.4同步测试：3.（上海市）在ABC 中，AB=AC=5， 如果圆 O 的半径为 ，且经过点3cos5B10B、C，那么线段 AO 的长等于 4.（威 海 市）如图，点 A，B 在直线 MN 上，AB11 厘米，A，B 的半径均为 1 厘米A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间 t（秒）之间的关系式为
4、r1+t（t0） （1）试写出点 A，B 之间的距离 d（厘米）与时间 t（秒）之间的函数表达式； （2）问点 A 出发后多少秒两圆相切？类型之三 方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.例 3.（上海市）已知 AB=2，AD=4，DAB=90，ADBC（如图） E 是射线 BC 上的动点（点 E 与点 B 不重合） ，M 是线段 DE 的中点（1）设 BE=x，ABM 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段 AB
5、为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长；（3）联结 BD，交线段 AM 于点 N，如果以 A、N、D 为顶点的三角形与BME 相似，求线段BE 的长【解析】建立函数关系实质就是把函数 y 用含自变量 x 的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以 为顶点的三角AND， ，形与 相似” ，一定要注意分类讨论。BME【答案】 （1）取 中点 ，联结 ，AHM为 的中点， ， DBE 1()2又 ， ，得 ；12ABMS (0)yx（2）由已知得 2(4)E以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，12HABD即 2(
6、4)(4)2xx解得 ，即线段 的长为 ；3E3（3）由已知，以 为顶点的三角形与 相似，AN， ， BME又易证得 DMB由此可知，另一对对应角相等有两种情况： ； ADNADBME当 时， ，E ANE，易得 得 ；DB2AD8B当 时， ，ME又 ，EBD ，即 ，E2DA得 22 21(4)(4)xxx解得 ， （舍去） 即线段 BE 的长为 2120综上所述，所求线段 BE 的长为 8 或 2 同步测试：5.（福州市)如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点， OA 所在的直线为 x 轴， OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系已知 OA3， OC2，点 E 是 AB 的中
7、点，在 OA 上取一点D，将 BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处（1）直接写出点 E、 F 的坐标；（2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点 E、 F、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、 N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由同步测试答案：1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是 3cm，底边长是 6cm 时，由于 3+3 不能大于 6 所以组不成三角形；当腰长是 6cm，地边长是 3cm 时能组
8、成三角形【答案】D2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知， ， ，从而可求得BFEBFBE=BF；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】 （1）证：由题意得 ， ，在矩形 ABCD 中， ， ，ADBC E，BFE F（2）答： 三者关系不唯一，有两种可能情况：abc， ，（） 三者存在的关系是 ， ， 2abc证：连结 BE，则 BE由（1）知 ， BEFcBE在 中， ， A 9022A， ， aba（） 三者存在的关系是 c， ， bc证：连结 BE，则 BE由（1）知 ， F在 中， ，A abc3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由 AB=AC=5，可得 B
9、C 边上的高 AD 为 4，圆 O 经过点 B、C 则 O 必在直线 AD 上，若 O 在 BC3os5B上方，则 AO=3，若 O 在 BC 下方，则 AO=5。【答案】3 或 54.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当 0t5.5 时，函数表达式为 d11-2t； 当 t5.5 时，函数表达式为 d2t -11 （2）两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切，由题意，可得 112t11t，t3； 当两圆第一次内切，由题意，可得 112t1t1，t ； 31当两圆第二次内切，由题意，可得 2t111t1，t11； 当两圆第
10、二次外切，由题意，可得 2t111t1，t13 所以，点 A 出发后 3 秒、 秒、11 秒、13 秒两圆相切 15.【解析】解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分结合这两个性质来解决在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如 E为顶点、P 为顶点、F 为顶点在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类这样才能做到不重不漏解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决【答案】 （1） ； (3)E， (12)，（2）在 中， ，RtBF 902215设点 的
11、坐标为 ，其中 ，P(0)n， 顶点 ，12)F，设抛物线解析式为 2(1)(0)yax如图，当 时， ，EPF221()5n解得 （舍去） ； 024n(4)P，21a解得 抛物线的解析式为2(1)yx如图，当 时， ，EPFP22()1()9n解得 （舍去） 5当 时， ，这种情况不存在EFP53综上所述，符合条件的抛物线解析式是 2(1)yx（3）存在点 ，使得四边形 的周长最小MN， NFE如图，作点 关于 轴的对称点 ，Ex作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，分别与 轴、 轴交于点 ，则点FyFExyMN，就是所求点MN， (31)E， (2)NM， ， ，4B，FFEF2345又 ，5E，此时四边形 的周长最小值是 5NMMNE5学优中考，网
